Номер 20.8, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору:

а) $\overline{AB} + \overline{FE}$;

б) $\overline{AB} + \overline{DC}$;

в) $\overline{AC} + \overline{DD_1}$;

г) $\overline{AB} + \overline{CE_1}$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

В правильной шестиугольной призме основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками. Боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны по длине: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{EE_1} = \vec{FF_1}$.

Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ со центром $O$ справедливы следующие векторные равенства:

• Векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны по модулю и противоположны по направлению, например, $\vec{AB} = -\vec{DE}$.

• Векторы сторон шестиугольника могут быть выражены через векторы из центра: $\vec{AB} = \vec{OC}$, $\vec{BC} = \vec{OD}$, $\vec{CD} = \vec{OE}$, $\vec{DE} = \vec{OF}$, $\vec{EF} = \vec{OA}$, $\vec{FA} = \vec{OB}$.

• Векторы, соединяющие несмежные вершины: $\vec{FE} = \vec{BC}$, $\vec{CD} = \vec{AF}$ (неверно), $\vec{AB} = \vec{OC}$. Для $\vec{FE}$ и $\vec{BC}$: они параллельны и равны по длине и направлению, следовательно $\vec{FE} = \vec{BC}$.

Найти:

Векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные следующим суммам векторов:

• a) $\overline{AB} + \overline{FE}$

• б) $\overline{AB} + \overline{DC}$

• в) $\overline{AC} + \overline{DD_1}$

• г) $\overline{AB} + \overline{CE_1}$

Решение

a) $\overline{AB} + \overline{FE}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ стороны $FE$ и $BC$ параллельны, равны по длине и имеют одинаковое направление. Следовательно, вектор $\vec{FE}$ равен вектору $\vec{BC}$: $\vec{FE} = \vec{BC}$.

Подставим это в сумму:

$\vec{AB} + \vec{FE} = \vec{AB} + \vec{BC}$

По правилу треугольника сложения векторов, если конец первого вектора является началом второго, то их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$

б) $\overline{AB} + \overline{DC}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$, пусть $O$ - центр. Мы знаем, что вектор стороны $\vec{AB}$ равен вектору, идущему от центра к вершине $C$: $\vec{AB} = \vec{OC}$.

Вектор $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$. Вектор $\vec{CD}$ равен вектору, идущему от центра к вершине $E$: $\vec{CD} = \vec{OE}$.

Таким образом, $\vec{DC} = -\vec{CD} = -\vec{OE} = \vec{EO}$.

Подставим эти равенства в исходную сумму:

$\vec{AB} + \vec{DC} = \vec{OC} + \vec{EO}$

Применяя правило треугольника (переставляя слагаемые):

$\vec{EO} + \vec{OC} = \vec{EC}$

Ответ: $\vec{EC}$

в) $\overline{AC} + \overline{DD_1}$

В правильной призме все боковые ребра параллельны и равны по длине. Следовательно, вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{CC_1}$: $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$.

Подставим это в сумму:

$\vec{AC} + \vec{DD_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

По правилу треугольника сложения векторов:

$\vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1}$

Ответ: $\vec{AC_1}$

г) $\overline{AB} + \overline{CE_1}$

Разложим вектор $\vec{CE_1}$ на составляющие, идущие по основанию и по боковому ребру:

$\vec{CE_1} = \vec{CE} + \vec{EE_1}$

Тогда исходная сумма становится:

$\vec{AB} + \vec{CE_1} = \vec{AB} + \vec{CE} + \vec{EE_1}$

Рассмотрим сумму $\vec{AB} + \vec{CE}$ в нижнем основании. Пусть $O$ - центр шестиугольника $ABCDEF$.

• Вектор $\vec{AB}$ равен $\vec{OC}$ (вектор от центра к вершине $C$).

• Вектор $\vec{CE}$ можно представить как $\vec{CO} + \vec{OE}$.

• Вектор $\vec{CO}$ противоположен вектору $\vec{OC}$, то есть $\vec{CO} = -\vec{OC}$. Так как $\vec{OC} = \vec{AB}$, то $\vec{CO} = -\vec{AB}$.

• Вектор $\vec{OE}$ равен вектору $\vec{CD}$ (вектор от центра к вершине $D$).

Тогда $\vec{CE} = -\vec{AB} + \vec{CD}$.

Подставим это в сумму $\vec{AB} + \vec{CE}$:

$\vec{AB} + \vec{CE} = \vec{AB} + (-\vec{AB} + \vec{CD}) = \vec{AB} - \vec{AB} + \vec{CD} = \vec{CD}$

Теперь подставим полученный результат обратно в полное выражение:

$\vec{AB} + \vec{CE_1} = (\vec{AB} + \vec{CE}) + \vec{EE_1} = \vec{CD} + \vec{EE_1}$

Поскольку $\vec{EE_1}$ является вектором бокового ребра, он равен вектору $\vec{DD_1}$: $\vec{EE_1} = \vec{DD_1}$.

Тогда сумма принимает вид:

$\vec{CD} + \vec{DD_1}$

По правилу треугольника сложения векторов:

$\vec{CD} + \vec{DD_1} = \vec{CD_1}$

Ответ: $\vec{CD_1}$