Номер 20.2, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.2. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 20.8) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору $\vec{AA_1}$.

Дано:

Треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ (см. рис. 20.8).

Найти:

Векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору $\vec{AA_1}$.

Решение:

Векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. В призме все боковые рёбра параллельны друг другу и имеют одинаковую длину.

Вектор $\vec{AA_1}$ направлен от вершины $A$ нижнего основания к соответствующей вершине $A_1$ верхнего основания. Нам необходимо найти все векторы, образованные вершинами призмы, которые имеют ту же длину и то же направление, что и $\vec{AA_1}$.

• Вектор $\vec{BB_1}$: этот вектор начинается в вершине $B$ и заканчивается в вершине $B_1$. Поскольку $BB_1$ является боковым ребром призмы, он параллелен ребру $AA_1$ и имеет ту же длину. Направление вектора $\vec{BB_1}$ (от $B$ к $B_1$) совпадает с направлением вектора $\vec{AA_1}$ (от $A$ к $A_1$). Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$.

• Вектор $\vec{CC_1}$: этот вектор начинается в вершине $C$ и заканчивается в вершине $C_1$. Аналогично, $CC_1$ является боковым ребром призмы, параллельным $AA_1$ и имеющим ту же длину. Направление вектора $\vec{CC_1}$ (от $C$ к $C_1$) совпадает с направлением вектора $\vec{AA_1}$. Следовательно, $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.

• Векторы $\vec{A_1A}$, $\vec{B_1B}$, $\vec{C_1C}$: эти векторы имеют ту же длину, что и $\vec{AA_1}$, но противоположное направление (от верхнего основания к нижнему). Поэтому они не равны вектору $\vec{AA_1}$.

• Векторы, лежащие в плоскостях оснований (например, $\vec{AB}$, $\vec{B_1C_1}$) или являющиеся диагоналями граней (например, $\vec{AC_1}$, $\vec{BC}$) или тела призмы, не имеют того же направления, что и боковые рёбра, и обычно имеют другую длину. Поэтому они не равны вектору $\vec{AA_1}$.

Таким образом, единственными векторами с началом и концом в вершинах призмы, которые равны вектору $\vec{AA_1}$, являются другие боковые рёбра, направленные аналогично от нижнего основания к верхнему.

Ответ:

Векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$.