Номер 20.6, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору:

а) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$;

б) $\vec{AB} + \vec{AD}$;

в) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$;

г) $\vec{AB} + \vec{CD_1}$;

д) $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

а) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторное выражение $\vec{AB} + \vec{CC_1}$.

Найти: Вектор с началом и концом в вершинах куба, равный данному выражению.

Решение:

В кубе вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$, так как они параллельны, имеют одинаковое направление и длину ребра куба. Таким образом, мы можем заменить $\vec{CC_1}$ на $\vec{AA_1}$:

$\vec{AB} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$ исходят из одной вершины $A$. Они являются смежными сторонами прямоугольника $ABA_1B_1$. По правилу параллелограмма (или правилу сложения векторов, исходящих из одной точки), их сумма равна вектору, являющемуся диагональю этого параллелограмма, исходящей из вершины $A$:

$\vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{AB_1}$

Ответ: $\vec{AB_1}$

б) $\vec{AB} + \vec{AD}$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторное выражение $\vec{AB} + \vec{AD}$.

Найти: Вектор с началом и концом в вершинах куба, равный данному выражению.

Решение:

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ исходят из одной вершины $A$ и лежат в плоскости основания $ABCD$. Грань $ABCD$ является квадратом, а значит, и параллелограммом. По правилу параллелограмма сложения векторов, если два вектора исходят из одной точки и являются смежными сторонами параллелограмма, то их сумма равна вектору, являющемуся диагональю этого параллелограмма, исходящей из той же точки:

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$

в) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторное выражение $\vec{AB} + \vec{AD_1}$.

Найти: Вектор с началом и концом в вершинах куба, равный данному выражению.

Решение:

Вектор $\vec{AD_1}$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Его можно представить как сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DD_1}$ (по правилу треугольника):

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Подставим это в исходное выражение:

$\vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{DD_1})$

Так как $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$ (векторы, соответствующие ребрам, перпендикулярным основанию), выражение становится:

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Из пункта б) мы знаем, что $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$. Подставим это:

$\vec{AC} + \vec{AA_1}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$ исходят из одной вершины $A$. Они являются смежными сторонами прямоугольника $ACC_1A_1$. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору, являющемуся диагональю этого прямоугольника, исходящей из вершины $A$:

$\vec{AC} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$

Ответ: $\vec{AC_1}$

г) $\vec{AB} + \vec{CD_1}$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторное выражение $\vec{AB} + \vec{CD_1}$.

Найти: Вектор с началом и концом в вершинах куба, равный данному выражению.

Решение:

Вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$ (они параллельны, имеют одинаковое направление и длину ребра куба).

Заменим $\vec{AB}$ на $\vec{DC}$ в выражении:

$\vec{AB} + \vec{CD_1} = \vec{DC} + \vec{CD_1}$

По правилу треугольника (сложение векторов "голова к хвосту"), если конец первого вектора является началом второго вектора, то их сумма - это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго:

$\vec{DC} + \vec{CD_1} = \vec{DD_1}$

Ответ: $\vec{DD_1}$

д) $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторное выражение $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Найти: Вектор с началом и концом в вершинах куба, равный данному выражению.

Решение:

Это сумма трех векторов, исходящих из одной вершины $A$ и соответствующих рёбрам куба.

Сначала сложим первые два вектора: $\vec{AB} + \vec{AD}$. Из пункта б) мы знаем, что:

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$ исходят из одной вершины $A$. Они являются смежными сторонами прямоугольника $ACC_1A_1$. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору, являющемуся диагональю этого прямоугольника, исходящей из вершины $A$:

$\vec{AC} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$

Также это является результатом правила сложения векторов для трехмерного параллелепипеда: сумма векторов, исходящих из одной вершины по рёбрам, равна вектору, идущему из этой вершины в противоположную ей вершину (противоположную по диагонали тела).

Ответ: $\vec{AC_1}$