Номер 20.11, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} + \vec{FE}$

б) $\vec{AB} + \vec{DC}$

в) $\vec{AC} + \vec{DD_1}$

г) $\vec{AB} + \vec{CE_1}$

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как значения безразмерны или представлены в универсальных единицах, которые не изменяют результат.

Найти:

Длину следующих векторов:

а) $\vec{AB} + \vec{FE}$

б) $\vec{AB} + \vec{DC}$

в) $\vec{AC} + \vec{DD_1}$

г) $\vec{AB} + \vec{CE_1}$

Решение:

Для решения задачи будем использовать свойства векторов и геометрию правильного шестиугольника и призмы.

а) $\vec{AB} + \vec{FE}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вектор $\vec{FE}$ параллелен вектору $\vec{BC}$, имеет ту же длину и направление. Следовательно, $\vec{FE} = \vec{BC}$.Тогда сумма векторов принимает вид: $\vec{AB} + \vec{FE} = \vec{AB} + \vec{BC}$.По правилу треугольника сложения векторов, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Теперь найдем длину вектора $\vec{AC}$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC = 1$. Угол $\angle ABC$ между сторонами $AB$ и $BC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.По теореме косинусов для треугольника $ABC$:$|\vec{AC}|^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$|\vec{AC}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$$|\vec{AC}|^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2)$$|\vec{AC}|^2 = 2 + 1 = 3$$|\vec{AC}| = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

б) $\vec{AB} + \vec{DC}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вектор $\vec{DC}$ параллелен вектору $\vec{AB}$, имеет ту же длину, но противоположное направление. Следовательно, $\vec{DC} = -\vec{AB}$.Тогда сумма векторов принимает вид: $\vec{AB} + \vec{DC} = \vec{AB} + (-\vec{AB}) = \vec{0}$.

Длина нулевого вектора равна 0.

Ответ: $0$

в) $\vec{AC} + \vec{DD_1}$

Вектор $\vec{AC}$ лежит в плоскости основания призмы. Его длина была найдена в пункте а): $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$.Вектор $\vec{DD_1}$ является ребром призмы, перпендикулярным плоскости основания. Его длина равна 1, так как все ребра призмы равны 1.Так как вектор $\vec{AC}$ лежит в плоскости основания, а вектор $\vec{DD_1}$ перпендикулярен этой плоскости, то эти два вектора ортогональны.

Длина суммы двух ортогональных векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2}$.$|\vec{AC} + \vec{DD_1}| = \sqrt{|\vec{AC}|^2 + |\vec{DD_1}|^2}$$|\vec{AC} + \vec{DD_1}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}$$|\vec{AC} + \vec{DD_1}| = \sqrt{3 + 1}$$|\vec{AC} + \vec{DD_1}| = \sqrt{4}$$|\vec{AC} + \vec{DD_1}| = 2$

Ответ: $2$

г) $\vec{AB} + \vec{CE_1}$

Разложим вектор $\vec{CE_1}$ на сумму двух векторов: $\vec{CE_1} = \vec{CE} + \vec{EE_1}$.Тогда искомая сумма векторов будет: $\vec{AB} + \vec{CE_1} = \vec{AB} + \vec{CE} + \vec{EE_1}$.

Рассмотрим сумму векторов $\vec{AB} + \vec{CE}$ в плоскости основания.Пусть $O$ - центр правильного шестиугольника $ABCDEF$.Вектор $\vec{AB}$ можно представить как $\vec{OB} - \vec{OA}$.Вектор $\vec{CE}$ можно представить как $\vec{OE} - \vec{OC}$.В правильном шестиугольнике вектор из центра к вершине противоположен вектору из центра к противоположной вершине, то есть $\vec{OE} = -\vec{OB}$ и $\vec{OC} = -\vec{OF}$.Подставим эти соотношения:$\vec{CE} = (-\vec{OB}) - (-\vec{OF}) = \vec{OF} - \vec{OB}$.Тогда сумма $\vec{AB} + \vec{CE}$ будет:$\vec{AB} + \vec{CE} = (\vec{OB} - \vec{OA}) + (\vec{OF} - \vec{OB})$$\vec{AB} + \vec{CE} = \vec{OF} - \vec{OA}$.Вектор $\vec{OF} - \vec{OA}$ является вектором $\vec{AF}$.

Длина вектора $\vec{AF}$ равна длине стороны правильного шестиугольника, то есть $|\vec{AF}| = 1$.

Теперь нам нужно найти длину вектора $\vec{AF} + \vec{EE_1}$.Вектор $\vec{AF}$ лежит в плоскости основания. Его длина $|\vec{AF}| = 1$.Вектор $\vec{EE_1}$ является ребром призмы, перпендикулярным плоскости основания. Его длина $|\vec{EE_1}| = 1$.Так как эти векторы ортогональны, используем формулу для длины суммы ортогональных векторов:$|\vec{AF} + \vec{EE_1}| = \sqrt{|\vec{AF}|^2 + |\vec{EE_1}|^2}$$|\vec{AF} + \vec{EE_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2}$$|\vec{AF} + \vec{EE_1}| = \sqrt{1 + 1}$$|\vec{AF} + \vec{EE_1}| = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$