Номер 20.12, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.12. В каком случае длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых?

В каком случае длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых?

Решение

Пусть даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Длина суммы векторов выражается формулой:

$||\vec{a} + \vec{b}||^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Зная, что скалярное произведение $\vec{x} \cdot \vec{y} = ||\vec{x}|| \cdot ||\vec{y}|| \cos\theta$, где $\theta$ - угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$, а также $\vec{x} \cdot \vec{x} = ||\vec{x}||^2$, получаем:

$||\vec{a} + \vec{b}||^2 = ||\vec{a}||^2 + 2||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cos\theta + ||\vec{b}||^2$

Мы ищем случай, когда длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых, то есть:

$||\vec{a} + \vec{b}|| = ||\vec{a}|| + ||\vec{b}||$

Так как обе части равенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(||\vec{a} + \vec{b}||)^2 = (||\vec{a}|| + ||\vec{b}||)^2$

Подставим выражение для $||\vec{a} + \vec{b}||^2$ и раскроем квадрат суммы справа:

$||\vec{a}||^2 + 2||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cos\theta + ||\vec{b}||^2 = ||\vec{a}||^2 + 2||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| + ||\vec{b}||^2$

Вычитая $||По||^2$ и $||Ве||^2$ из обеих частей, а также деля на $2$, получаем:

$||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cos\theta = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||$

Рассмотрим два случая:

1. Если хотя бы один из векторов является нулевым вектором (т.е., $||\vec{a}|| = 0$ или $||\vec{b}|| = 0$).

Если $\vec{a} = \vec{0}$, то $||\vec{0} + \vec{b}|| = ||\vec{b}||$ и $||\vec{0}|| + ||\vec{b}|| = 0 + ||\vec{b}|| = ||\vec{b}||$. Равенство выполняется. Аналогично, если $\vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор считается коллинеарным с любым другим вектором и направленным с ним. Таким образом, в этом случае условие выполняется.

2. Если оба вектора не являются нулевыми (т.е., $||\vec{a}|| \neq 0$ и $||\vec{b}|| \neq 0$).

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения $||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cos\theta = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||$ на $||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||$:

$\cos\theta = 1$

Это равенство истинно, когда угол $\theta = 0^\circ$ (или $360^\circ k$, где $k$ - целое число). Угол в $0^\circ$ между векторами означает, что они сонаправлены (направлены в одну сторону) и коллинеарны.

Таким образом, длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых тогда и только тогда, когда векторы сонаправлены (т.е. угол между ними равен $0^\circ$) или хотя бы один из них является нулевым вектором.

Ответ: Длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых, если векторы сонаправлены или хотя бы один из них является нулевым вектором.