Номер 20.19, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.19. Катер прошел в направлении к северо-западу 2 км, а потом, повернув на север, еще 1 км. Выберите масштаб, постройте вектор перемещения и найдите его длину.

Дано

$s_1 = 2 \text{ км}$ (в направлении северо-запад)
$s_2 = 1 \text{ км}$ (в направлении север)

Перевод в СИ

$s_1 = 2 \text{ км} = 2000 \text{ м}$
$s_2 = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Найти

$S = ?$ (длина вектора перемещения)

Решение

Выбор масштаба
Для удобства построения выберем масштаб: $1 \text{ см} = 0.5 \text{ км}$.
Тогда длина первого вектора на чертеже будет $L_1 = 2 \text{ км} / 0.5 \text{ км/см} = 4 \text{ см}$.
Длина второго вектора на чертеже будет $L_2 = 1 \text{ км} / 0.5 \text{ км/см} = 2 \text{ см}$.
Ответ: Выбран масштаб $1 \text{ см} = 0.5 \text{ км}$.

Построение вектора перемещения
1. Начертите систему координат, обозначив направления: Север (вверх), Юг (вниз), Запад (влево), Восток (вправо).
2. От начала координат отложите первый вектор $\vec{s_1}$ длиной $4 \text{ см}$ в направлении северо-запада (угол $45^\circ$ между направлением "Север" и "Запад", или $135^\circ$ от положительной оси "Восток", если "Восток" - это ось X).
3. От конца первого вектора $\vec{s_1}$ отложите второй вектор $\vec{s_2}$ длиной $2 \text{ см}$ в направлении севера (вертикально вверх).
4. Вектор полного перемещения $\vec{S}$ будет направлен от начала координат к концу второго вектора $\vec{s_2}$. Его длину на чертеже следует измерить и перевести в километры, используя выбранный масштаб.
Ответ: Вектор перемещения должен быть построен графически в соответствии с описанием.

Нахождение длины вектора перемещения
Представим векторы в компонентной форме. Пусть ось $x$ направлена на Восток, а ось $y$ на Север.
Для первого перемещения $s_1 = 2 \text{ км}$ в направлении северо-запада (угол $135^\circ$ относительно положительной оси $x$):
$s_{1x} = s_1 \cos(135^\circ) = 2 \text{ км} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} \text{ км}$
$s_{1y} = s_1 \sin(135^\circ) = 2 \text{ км} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \text{ км}$
Для второго перемещения $s_2 = 1 \text{ км}$ в направлении севера:
$s_{2x} = 0 \text{ км}$
$s_{2y} = 1 \text{ км}$
Компоненты вектора полного перемещения $\vec{S} = \vec{s_1} + \vec{s_2}$:
$S_x = s_{1x} + s_{2x} = -\sqrt{2} + 0 = -\sqrt{2} \text{ км}$
$S_y = s_{1y} + s_{2y} = \sqrt{2} + 1 \text{ км}$
Длина (модуль) вектора полного перемещения $S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2}$:
$S = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} + 1)^2}$
$S = \sqrt{2 + ((\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2)}$
$S = \sqrt{2 + (2 + 2\sqrt{2} + 1)}$
$S = \sqrt{2 + 3 + 2\sqrt{2}}$
$S = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}}$
Приближенное значение:
$\sqrt{2} \approx 1.4142$
$S \approx \sqrt{5 + 2 \cdot 1.4142} = \sqrt{5 + 2.8284} = \sqrt{7.8284}$
$S \approx 2.798 \text{ км}$
Ответ: Длина вектора перемещения составляет $\sqrt{5 + 2\sqrt{2}} \text{ км}$ или приблизительно $2.80 \text{ км}$.