Номер 20.18, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.18. В тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются серединами ребер соответственно $AB$ и $CD$ (рис. 20.12). Докажите, что $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$.

Дано:

В тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $AB$ и $CD$ соответственно.

Найти:

Доказать, что $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$.

Решение:

Для доказательства используем метод векторов. Выберем произвольную точку $O$ в качестве начала координат и обозначим радиус-векторы вершин тетраэдра относительно этой точки как $\vec{OA} = \vec{A}$, $\vec{OB} = \vec{B}$, $\vec{OC} = \vec{C}$, $\vec{OD} = \vec{D}$.

Поскольку точка $E$ является серединой ребра $AB$, ее радиус-вектор $\vec{E}$ может быть выражен как среднее арифметическое радиус-векторов точек $A$ и $B$:
$\vec{E} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B})$

Аналогично, поскольку точка $F$ является серединой ребра $CD$, ее радиус-вектор $\vec{F}$ может быть выражен как:
$\vec{F} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{D})$

Вектор $\vec{EF}$, соединяющий точки $E$ и $F$, можно найти как разность радиус-векторов точки $F$ и точки $E$:
$\vec{EF} = \vec{F} - \vec{E}$

Теперь подставим ранее полученные выражения для $\vec{F}$ и $\vec{E}$ в это уравнение:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{D}) - \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B})$

Чтобы получить требуемую формулу, перегруппируем слагаемые в скобках. Мы знаем, что вектор, идущий от одной точки к другой, равен разности их радиус-векторов (например, $\vec{XY} = \vec{Y} - \vec{X}$). Таким образом, $\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A}$ и $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}$. Перегруппируем члены в скобках соответственно:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}((\vec{D} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{B}))$

Заменим полученные разности радиус-векторов на соответствующие векторы:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ:

Доказано, что $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$.