Номер 20.13, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.13. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.11) укажите вектор:

а) $ \vec{AB} - \vec{AA_1} $;

б) $ \vec{AC} - \vec{DD_1} $;

в) $ \vec{AB_1} - \vec{BC_1} $;

г) $ 2\vec{AB} + \vec{BD_1} $.

Рис. 20.11

Дано: Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.11).

Найти: Вектор, равный заданному выражению.

Решение

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов, а также свойствами векторов в параллелепипеде, согласно которым противоположные ребра и диагонали параллельных граней, являющиеся противоположными сторонами параллелограммов, равны и параллельны, а также векторы, соединяющие соответствующие вершины параллельных граней, равны.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ справедливы следующие векторные равенства:

• $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$

• $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$

• $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$

Применим эти свойства и правила векторной алгебры для каждого выражения.

а) $\vec{AB} - \vec{AA_1}$

Используем правило вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\vec{PQ} - \vec{PR} = \vec{RQ}$. В данном случае $P=A$, $Q=B$, $R=A_1$.

$\vec{AB} - \vec{AA_1} = \vec{A_1B}$

Ответ: $\vec{A_1B}$

б) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$

Заменим вектор $\vec{DD_1}$ на равный ему вектор $\vec{AA_1}$ (по свойству параллелепипеда):

$\vec{AC} - \vec{DD_1} = \vec{AC} - \vec{AA_1}$

Теперь применим правило вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\vec{PQ} - \vec{PR} = \vec{RQ}$. В данном случае $P=A$, $Q=C$, $R=A_1$.

$\vec{AC} - \vec{AA_1} = \vec{A_1C}$

Ответ: $\vec{A_1C}$

в) $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$

Выразим каждый вектор через векторы, исходящие из общей вершины $A$.

Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю грани $ABA_1B_1$. По правилу параллелограмма $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$.

Вектор $\vec{BC_1}$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. По правилу параллелограмма $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{BB_1}$.

Так как $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$ (по свойству параллелепипеда) и $\vec{BC} = \vec{AD}$ (противоположные стороны параллелограмма $ABCD$), то:

$\vec{BC_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$\vec{AB_1} - \vec{BC_1} = (\vec{AB} + \vec{AA_1}) - (\vec{AD} + \vec{AA_1})$

Раскроем скобки:

$\vec{AB_1} - \vec{BC_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} - \vec{AD} - \vec{AA_1}$

Сократим $\vec{AA_1}$:

$\vec{AB_1} - \vec{BC_1} = \vec{AB} - \vec{AD}$

Используем правило вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\vec{PQ} - \vec{PR} = \vec{RQ}$. В данном случае $P=A$, $Q=B$, $R=D$.

$\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$

Ответ: $\vec{DB}$

г) $2\vec{AB} + \vec{BD_1}$

Выразим вектор $\vec{BD_1}$ через векторы, исходящие из вершины $A$.

Вектор $\vec{BD_1}$ можно представить как разность векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{AB}$ (правило вычитания векторов: $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$):

$\vec{BD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AB}$

Подставим это в исходное выражение:

$2\vec{AB} + (\vec{AD_1} - \vec{AB})$

Раскроем скобки и упростим:

$2\vec{AB} + \vec{AD_1} - \vec{AB} = \vec{AB} + \vec{AD_1}$

Теперь выразим $\vec{AD_1}$ через векторы, исходящие из вершины $A$. Вектор $\vec{AD_1}$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. По правилу параллелограмма $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Подставим это обратно:

$\vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{AA_1})$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Эта сумма представляет собой вектор главной диагонали параллелепипеда, исходящей из вершины $A$ и заканчивающейся в вершине $C_1$.

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Следовательно:

$2\vec{AB} + \vec{BD_1} = \vec{AC_1}$

Ответ: $\vec{AC_1}$