Номер 20.9, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.9. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.8). Найдите длину вектора $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1}$.

Рис. 20.8

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Длину вектора $|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1}|$.

Решение:

Рассмотрим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, лежащие в плоскости основания призмы $ABC$. Согласно правилу сложения векторов для треугольника, их сумма $\vec{AB} + \vec{AC}$ равна $2\vec{AM}$, где $M$ - середина стороны $BC$. Это свойство применимо, поскольку $A, B, C$ являются вершинами треугольника, и $\vec{AM}$ является медианой.

В правильном (равностороннем) треугольнике $ABC$ со стороной $a = 1$, медиана $AM$ также является высотой. Длина медианы (высоты) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, длина вектора $2\vec{AM}$ равна $|2\vec{AM}| = 2 \cdot AM = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Вектор $\vec{AA_1}$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$. Вектор $2\vec{AM}$ лежит в плоскости основания $ABC$. Это означает, что векторы $2\vec{AM}$ и $\vec{AA_1}$ ортогональны.

Длина вектора $\vec{AA_1}$ равна длине ребра призмы, то есть $|\vec{AA_1}| = 1$.

Обозначим искомый вектор как $\vec{X} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1}$.

Мы можем переписать его как $\vec{X} = (2\vec{AM}) + \vec{AA_1}$.

Так как векторы $2\vec{AM}$ и $\vec{AA_1}$ ортогональны, квадрат длины их суммы равен сумме квадратов их длин:

$|\vec{X}|^2 = |2\vec{AM}|^2 + |\vec{AA_1}|^2$

$|\vec{X}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$|\vec{X}|^2 = 3 + 1$

$|\vec{X}|^2 = 4$

Следовательно, $|\vec{X}| = \sqrt{4} = 2$.

Альтернативный метод с использованием координатной системы:

Поместим вершину $A$ в начало координат: $A = (0, 0, 0)$.

Поскольку $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной 1, и $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, можно задать координаты вершин следующим образом:

Вершина $B$ находится на оси $x$: $B = (1, 0, 0)$.

Вершина $C$ находится в плоскости $xy$. Поскольку $AC=1$ и угол $\angle BAC = 60^\circ$ (в равностороннем треугольнике), координаты $C$ будут:

$C = (1 \cdot \cos 60^\circ, 1 \cdot \sin 60^\circ, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вершина $A_1$ находится над $A$ вдоль оси $z$, так как $AA_1$ перпендикулярна основанию и имеет длину 1:

$A_1 = (0, 0, 1)$.

Теперь выразим векторы в координатной форме:

$\vec{AB} = B - A = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0)$

$\vec{AC} = C - A = (\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{AA_1} = A_1 - A = (0 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$

Найдем сумму этих векторов:

$\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1} = (1 + \frac{1}{2} + 0, 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} + 0, 0 + 0 + 1)$

$\vec{S} = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем длину вектора $\vec{S}$ по формуле длины вектора в декартовых координатах:

$|\vec{S}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2}$

$|\vec{S}| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1}$

$|\vec{S}| = \sqrt{\frac{12}{4} + 1}$

$|\vec{S}| = \sqrt{3 + 1}$

$|\vec{S}| = \sqrt{4}$

$|\vec{S}| = 2$

Ответ:

2