Номер 20.5, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.9). Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB}$

б) $\vec{AC}$

в) $\vec{AD}$

г) $\vec{AB_1}$

д) $\vec{AC_1}$

е) $\vec{AD_1}$

Рис. 20.9

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ

Данные уже представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Длины векторов: $|\vec{AB}|$, $|\vec{AC}|$, $|\vec{AD}|$, $|\vec{AB_1}|$, $|\vec{AC_1}|$, $|\vec{AD_1}|$.

Решение

а) $\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ соединяет две соседние вершины основания правильной шестиугольной призмы. Длина этого вектора равна длине ребра основания.

$|\vec{AB}| = AB = 1$

Ответ: $1$

б) $\vec{AC}$

Вектор $\vec{AC}$ является малой диагональю правильного шестиугольного основания. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$.

В данном случае $a=1$, поэтому $|\vec{AC}| = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Альтернативный метод: рассмотрим треугольник $ABC$. $AB=BC=1$. Угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 120^\circ$.

По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2)$

$AC^2 = 2 + 1 = 3$

$|\vec{AC}| = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

в) $\vec{AD}$

Вектор $\vec{AD}$ является большой диагональю правильного шестиугольного основания. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ длина большой диагонали равна $2a$.

В данном случае $a=1$, поэтому $|\vec{AD}| = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $2$

г) $\vec{AB_1}$

Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю прямоугольника $ABB_1A_1$. Стороны этого прямоугольника: $AB = 1$ (ребро основания) и $BB_1 = 1$ (высота призмы).

Треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

По теореме Пифагора:

$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$

$AB_1^2 = 1^2 + 1^2$

$AB_1^2 = 1 + 1 = 2$

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

д) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ является пространственной диагональю призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Прямой угол находится при вершине $C$, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Длина отрезка $AC$ была найдена в пункте (б): $AC = \sqrt{3}$.

Длина отрезка $CC_1$ равна высоте призмы: $CC_1 = 1$.

По теореме Пифагора:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$AC_1^2 = 3 + 1 = 4$

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{4} = 2$

Ответ: $2$

е) $\vec{AD_1}$

Вектор $\vec{AD_1}$ также является пространственной диагональю призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Прямой угол находится при вершине $D$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Длина отрезка $AD$ была найдена в пункте (в): $AD = 2$.

Длина отрезка $DD_1$ равна высоте призмы: $DD_1 = 1$.

По теореме Пифагора:

$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$

$AD_1^2 = 2^2 + 1^2$

$AD_1^2 = 4 + 1 = 5$

$|\vec{AD_1}| = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$