Задания, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Проведите доказательство этих свойств самостоятельно аналогично тому, как это делалось для плоскости.

Доказываемое свойство 1: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Дано: Прямые $a$, $b$, $c$. Известно, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$.

Найти: Доказать, что $a \parallel b$.

Решение

1. Если прямая $a$ совпадает с прямой $c$ (т.е., $a = c$), то из условия $c \parallel b$ сразу следует $a \parallel b$. Аналогично, если $b = c$. Будем считать, что прямые $a$, $b$, $c$ попарно различны.

2. По определению, две прямые в пространстве параллельны, если они либо совпадают, либо лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Рассмотрим любую точку $A$ на прямой $a$. Так как $a \parallel c$ и $a \neq c$, точка $A$ не лежит на прямой $c$.

4. Через точку $A$ и прямую $c$ можно провести единственную плоскость $\alpha$. Прямая $a$ лежит в этой плоскости $\alpha$.

5. Теперь предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Тогда они либо пересекаются, либо скрещиваются.

6. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $S$. Поскольку $S \in a$ и $a \parallel c$, точка $S$ и прямая $c$ лежат в плоскости $\alpha$. Поскольку $S \in b$ и $b \parallel c$, точка $S$ и прямая $c$ лежат в плоскости $\beta$. Если $S \notin c$, то через точку $S$ и прямую $c$ проходит единственная плоскость, следовательно, $\alpha = \beta$. Таким образом, прямые $a$, $b$, $c$ лежат в одной плоскости $\alpha$. В этой плоскости две различные прямые $a$ и $b$ проходят через точку $S$ и обе параллельны прямой $c$. Это противоречит аксиоме параллельных прямых на плоскости (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной). Если $S \in c$, то $a$ и $c$ пересекаются, что противоречит условию $a \parallel c$ (так как $a \neq c$). Аналогично, $b$ и $c$ пересекаются, что противоречит $b \parallel c$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

7. Если прямые $a$ и $b$ скрещиваются. Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $P$. Проведем через точку $P$ прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Так как $b' \parallel b$ и $b \parallel c$, то прямая $b'$ также параллельна прямой $c$. Теперь у нас есть две прямые, $a$ и $b'$, которые проходят через точку $P$ и обе параллельны прямой $c$. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, которая определяется точкой $P$ и прямой $c$. Так как прямая $b'$ проходит через $P$ и параллельна $c$, она также должна лежать в плоскости $\alpha$ (поскольку через точку и прямую, не содержащую эту точку, проходит единственная плоскость). Таким образом, прямые $a$ и $b'$ лежат в одной плоскости $\alpha$, проходят через одну точку $P$ и параллельны прямой $c$. Согласно аксиоме параллельных прямых на плоскости, $a$ и $b'$ должны совпадать. Следовательно, $a \parallel b$ (поскольку $a = b'$ и $b' \parallel b$). Это противоречит предположению, что $a$ и $b$ скрещиваются (так как $a$ и $b$ оказываются параллельными).

8. Поскольку предположение о том, что $a$ и $b$ не параллельны, приводит к противоречию, исходное утверждение верно. Следовательно, $a \parallel b$.

Ответ: $a \parallel b$.

Доказываемое свойство 2: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Дано: Плоскость $\alpha$. Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются в точке $O$. Прямая $l$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна прямой $a$ ($l \perp a$) и перпендикулярна прямой $b$ ($l \perp b$).

Найти: Доказать, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($l \perp \alpha$).

Решение

1. По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения. Нам нужно показать, что прямая $l$ перпендикулярна любой произвольной прямой $c$, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $O$.

2. Возьмем на прямой $l$ две точки $M$ и $N$, симметричные относительно точки $O$, то есть $OM = ON$.

3. Если произвольная прямая $c$ совпадает с прямой $a$ или $b$, то перпендикулярность $l \perp c$ следует непосредственно из условий задачи. Рассмотрим случай, когда прямая $c$ не совпадает ни с $a$, ни с $b$. Возьмем на прямой $c$ произвольную точку $K$, отличную от $O$.

4. На прямой $a$ возьмем произвольную точку $A$, отличную от $O$. На прямой $b$ возьмем произвольную точку $B$, отличную от $O$. Через точку $K$ можно провести в плоскости $\alpha$ прямую $AB$, пересекающую прямые $a$ и $b$ (если $K$ не лежит на $a$ или $b$, иначе $c=a$ или $c=b$).

5. Рассмотрим треугольники $\triangle AMO$ и $\triangle ANO$. Так как $l \perp a$ (по условию), то $\angle AOM = \angle AON = 90^\circ$. Поскольку $OM = ON$ и $AO$ – общая сторона, $\triangle AMO \cong \triangle ANO$ (по двум катетам в прямоугольных треугольниках). Из равенства треугольников следует $AM = AN$.

6. Аналогично, рассмотрим треугольники $\triangle BMO$ и $\triangle NBO$. Так как $l \perp b$ (по условию), то $\angle BOM = \angle BON = 90^\circ$. Поскольку $OM = ON$ и $BO$ – общая сторона, $\triangle BMO \cong \triangle NBO$ (по двум катетам). Из равенства треугольников следует $BM = BN$.

7. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle NAB$. Мы имеем: $AM = AN$ (из п.5), $BM = BN$ (из п.6), и $AB$ – общая сторона. Следовательно, $\triangle MAB \cong \triangle NAB$ (по трем сторонам).

8. Из равенства $\triangle MAB \cong \triangle NAB$ следует равенство соответствующих углов. В частности, $\angle MAK = \angle NAK$, так как точка $K$ лежит на отрезке $AB$ (или на прямой $AB$).

9. Рассмотрим треугольники $\triangle MAK$ и $\triangle NAK$. Мы имеем: $AM = AN$ (из п.5), $AK$ – общая сторона, и $\angle MAK = \angle NAK$ (из п.8). Следовательно, $\triangle MAK \cong \triangle NAK$ (по двум сторонам и углу между ними). Из этого равенства следует $MK = NK$.

10. Поскольку $MK = NK$, треугольник $\triangle MKN$ является равнобедренным. Точка $O$ является серединой отрезка $MN$. Медиана $KO$ в равнобедренном треугольнике $\triangle MKN$, проведенная к основанию $MN$, является также его высотой. Это означает, что $KO \perp MN$, то есть $KO \perp l$.

11. Поскольку $K$ – произвольная точка на произвольной прямой $c$ в плоскости $\alpha$, проходящей через $O$, и мы показали, что $KO \perp l$, это доказывает, что прямая $l$ перпендикулярна любой такой прямой $c$. По определению, это означает, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Ответ: $l \perp \alpha$.