Номер 19.12, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.12. Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны $1$, плоскостью, проходящей через вершины $A, C_1$ и $E_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ (единица измерения длины).

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $C_1$, $E_1$.

Перевод данных в систему СИ:

Единицы измерения длины не указаны, поэтому расчеты проводятся в условных единицах.

Длина стороны основания призмы $a = 1$ у.е.

Высота призмы (боковое ребро) $h = 1$ у.е.

Найти:

Площадь сечения $S_{ACE_1}$ (у.е.$^2$).

Решение:

Сечением правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через вершины $A$, $C_1$ и $E_1$, является треугольник $AC_1E_1$. Для нахождения площади этого треугольника нам необходимо вычислить длины его сторон.

1. Найдем длину стороны $AC_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катет $CC_1$ равен высоте призмы $h = 1$. Катет $AC$ является короткой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $a = 1$. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника равна $a\sqrt{3}$.

Следовательно, $AC = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для треугольника $ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

2. Найдем длину стороны $E_1A$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEE_1$. Катет $EE_1$ равен высоте призмы $h = 1$. Катет $AE$ также является короткой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $a = 1$.

Следовательно, $AE = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для треугольника $AEE_1$:

$AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2$

$AE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AE_1 = \sqrt{4} = 2$.

3. Найдем длину стороны $C_1E_1$. Сторона $C_1E_1$ является короткой диагональю правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (верхнее основание призмы), сторона которого также равна $a = 1$.

Следовательно, $C_1E_1 = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, треугольник $AC_1E_1$ имеет стороны $AC_1 = 2$, $AE_1 = 2$, $C_1E_1 = \sqrt{3}$. Это равнобедренный треугольник.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Пусть основание треугольника $b_{tri} = C_1E_1 = \sqrt{3}$. Высота $h_{tri}$ будет опущена из вершины $A$ на середину $C_1E_1$. Обозначим середину $C_1E_1$ как $M$. Тогда треугольник $AMC_1$ будет прямоугольным с гипотенузой $AC_1 = 2$ и катетом $MC_1 = \frac{C_1E_1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $AMC_1$:

$AM^2 = AC_1^2 - MC_1^2$

$AM^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16 - 3}{4} = \frac{13}{4}$

$h_{tri} = AM = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Площадь треугольника $AC_1E_1$:

$S_{AC_1E_1} = \frac{1}{2} \cdot C_1E_1 \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{39}}{4}$ у.е.$^2$.