Номер 19.9, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.9. Найдите площадь сечения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1D_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость проходит через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1D_1$.

Перевод в СИ: Ребро куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение

1. Введем декартову систему координат. Совместим начало координат с вершиной $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин единичного куба будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

2. Найдем координаты середин указанных ребер:

• Середина ребра $AB$ (обозначим $M_1$): $M_1 = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 0, 0)$.
• Середина ребра $BC$ (обозначим $M_2$): $M_2 = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.
• Середина ребра $A_1D_1$ (обозначим $M_3$): $M_3 = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0, 0.5, 1)$.

3. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M_1$, $M_2$, $M_3$.

Для этого найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{M_1M_2} = (1-0.5, 0.5-0, 0-0) = (0.5, 0.5, 0)$

$\vec{M_1M_3} = (0-0.5, 0.5-0, 1-0) = (-0.5, 0.5, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ -0.5 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.5)) + \mathbf{k}(0.5 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot (-0.5))$

$\vec{n} = (0.5, -0.5, 0.25 + 0.25) = (0.5, -0.5, 0.5)$.

Для удобства можно использовать коллинеарный вектор нормали $\vec{n}' = (1, -1, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=1, B=-1, C=1$ и координаты точки $M_1(0.5, 0, 0)$:

$1 \cdot 0.5 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow 0.5 + D = 0 \Rightarrow D = -0.5$.

Таким образом, уравнение плоскости: $x - y + z - 0.5 = 0$, или $2x - 2y + 2z - 1 = 0$.

4. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $AB$: $y=0, z=0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x=0.5$. Это точка $M_1(0.5, 0, 0)$.
• Ребро $BC$: $x=1, z=0 \Rightarrow 2(1) - 2y - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 2y = 0 \Rightarrow y=0.5$. Это точка $M_2(1, 0.5, 0)$.
• Ребро $CD$: $y=1, z=0 \Rightarrow 2x - 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x=1.5$. Нет пересечения с ребром.
• Ребро $AD$: $x=0, z=0 \Rightarrow -2y - 1 = 0 \Rightarrow y=-0.5$. Нет пересечения с ребром.
• Ребро $A_1B_1$: $y=0, z=1 \Rightarrow 2x + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x=-0.5$. Нет пересечения с ребром.
• Ребро $B_1C_1$: $x=1, z=1 \Rightarrow 2(1) - 2y + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 3 - 2y = 0 \Rightarrow y=1.5$. Нет пересечения с ребром.
• Ребро $C_1D_1$: $y=1, z=1 \Rightarrow 2x - 2(1) + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x=0.5$. Это точка $M_4(0.5, 1, 1)$.
• Ребро $A_1D_1$: $x=0, z=1 \Rightarrow -2y + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 2y = 0 \Rightarrow y=0.5$. Это точка $M_3(0, 0.5, 1)$.
• Ребро $AA_1$: $x=0, y=0 \Rightarrow 2z - 1 = 0 \Rightarrow z=0.5$. Это точка $M_5(0, 0, 0.5)$.
• Ребро $BB_1$: $x=1, y=0 \Rightarrow 2(1) + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 1 + 2z = 0 \Rightarrow z=-0.5$. Нет пересечения с ребром.
• Ребро $CC_1$: $x=1, y=1 \Rightarrow 2(1) - 2(1) + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2z = 1 \Rightarrow z=0.5$. Это точка $M_6(1, 1, 0.5)$.
• Ребро $DD_1$: $x=0, y=1 \Rightarrow -2(1) + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2z = 3 \Rightarrow z=1.5$. Нет пересечения с ребром.

Таким образом, сечением является шестиугольник $M_1M_2M_6M_4M_3M_5$ с координатами вершин:

$M_1(0.5, 0, 0)$

$M_2(1, 0.5, 0)$

$M_6(1, 1, 0.5)$

$M_4(0.5, 1, 1)$

$M_3(0, 0.5, 1)$

$M_5(0, 0, 0.5)$

5. Вычислим длины сторон шестиугольника:

Длина стороны $M_1M_2 = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0.5-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2 + 0^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Можно проверить, что все остальные стороны имеют такую же длину:

$M_2M_6 = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0.5)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$M_6M_4 = \sqrt{(0.5-1)^2 + (1-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$M_4M_3 = \sqrt{(0-0.5)^2 + (0.5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + (-0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$M_3M_5 = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0.5)^2 + (0.5-1)^2} = \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$M_5M_1 = \sqrt{(0.5-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Все стороны шестиугольника равны $l = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Также можно убедиться, что противоположные стороны параллельны (например, $\vec{M_1M_2} = (0.5, 0.5, 0)$ и $\vec{M_4M_3} = (-0.5, -0.5, 0)$, что подтверждает параллельность $M_1M_2 \parallel M_4M_3$). Центр шестиугольника (среднее арифметическое координат всех вершин) равен $(0.5, 0.5, 0.5)$, что совпадает с центром куба. Это означает, что сечение является правильным шестиугольником.

6. Площадь правильного шестиугольника со стороной $l$ вычисляется по формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}l^2$.

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$