Номер 19.2, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.2. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, плоскостью, проходящей через вершины $A$, $B$ и $C_1$ (рис. 19.5).

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $B$ и $C_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ м}$ (для общности, так как единицы измерения не указаны в задаче).

Найти:

Площадь сечения $S_{ABC_1}$.

Решение:

Сечением, проходящим через вершины $A$, $B$ и $C_1$, является треугольник $ABC_1$. Для вычисления его площади необходимо определить длины всех его сторон.

1. Длина стороны $AB$. Сторона $AB$ является ребром основания правильной треугольной призмы. По условию, все ребра призмы равны 1. Следовательно, $AB = 1$.

2. Длина стороны $AC_1$. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Поскольку призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, а боковые грани являются прямоугольниками. Таким образом, треугольник $ACC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Длины катетов $AC$ и $CC_1$ равны 1 (так как все ребра призмы равны 1). По теореме Пифагора находим длину гипотенузы $AC_1$:

$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $BC_1$. Аналогично, сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Треугольник $BCC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Длины катетов $BC$ и $CC_1$ равны 1. По теореме Пифагора находим длину гипотенузы $BC_1$:

$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник сечения $ABC_1$ имеет длины сторон $AB = 1$, $AC_1 = \sqrt{2}$ и $BC_1 = \sqrt{2}$. Этот треугольник является равнобедренным.

Для вычисления площади равнобедренного треугольника $ABC_1$ найдем его высоту, опущенную из вершины $C_1$ на основание $AB$. Пусть $M$ - середина отрезка $AB$. Тогда $C_1M$ является высотой треугольника $ABC_1$ (так как в равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой).

Длина отрезка $AM = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC_1$ (прямой угол при вершине $M$). По теореме Пифагора:

$C_1M^2 = AC_1^2 - AM^2$

$C_1M^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$C_1M^2 = 2 - \frac{1}{4}$

$C_1M^2 = \frac{8}{4} - \frac{1}{4}$

$C_1M^2 = \frac{7}{4}$

$C_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Площадь треугольника $ABC_1$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \times AB \times C_1M$

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{7}}{2}$

$S_{ABC_1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $S_{ABC_1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.