Номер 19.5, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.5. Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $CD$ (рис. 19.8).

Рис. 19.8

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Все ребра тетраэдра равны $a = 1$.

Плоскость сечения проходит через середины ребер $AB$, $BC$ и $CD$. Обозначим эти середины как $K$, $L$ и $M$ соответственно.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины, не требующая перевода для решения задачи).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1.Построение сечения.

Пусть $K$ – середина ребра $AB$, $L$ – середина ребра $BC$, $M$ – середина ребра $CD$.

Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ в треугольнике $ABC$. Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. Из этого следует, что $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

Отрезок $LM$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$ в треугольнике $BCD$. Следовательно, $LM$ является средней линией треугольника $BCD$. Из этого следует, что $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2} BD$.

Секущая плоскость проходит через точки $K, L, M$. Так как $KL \parallel AC$, а ребро $AC$ лежит в грани $ACD$, то линия пересечения секущей плоскости с гранью $ACD$ должна быть параллельна $AC$. Эта линия проходит через точку $M$ (которая лежит в грани $ACD$). Пусть эта линия пересекает ребро $AD$ в точке $N$. Тогда $MN \parallel AC$. Поскольку $M$ – середина $CD$, то $MN$ является средней линией треугольника $ACD$. Следовательно, $N$ – середина ребра $AD$.

Теперь соединим точку $N$ с точкой $K$. Отрезок $NK$ соединяет середины сторон $AD$ и $AB$ в треугольнике $ABD$. Следовательно, $NK$ является средней линией треугольника $ABD$. Из этого следует, что $NK \parallel BD$ и $NK = \frac{1}{2} BD$.

Таким образом, сечением является четырехугольник $KLMN$.

2.Определение вида сечения.

В правильном тетраэдре все ребра равны $a = 1$. Следовательно, $AC = BD = a = 1$.

Длины сторон четырехугольника $KLMN$:

• $KL = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
• $LM = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
• $MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
• $NK = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Все стороны четырехугольника $KLMN$ равны $\frac{1}{2}$. Следовательно, $KLMN$ является ромбом.

В правильном тетраэдре противоположные ребра перпендикулярны. В частности, ребро $AC$ перпендикулярно ребру $BD$.

Поскольку $KL \parallel AC$ и $LM \parallel BD$, то угол между $KL$ и $LM$ равен углу между $AC$ и $BD$, то есть $90^\circ$. Таким образом, $\angle KLM = 90^\circ$.

Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом.

Следовательно, сечение $KLMN$ – это квадрат со стороной $s = \frac{1}{2}$.

3.Вычисление площади сечения.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = s^2$.

$S = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $1/4$