Номер 19.8, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.8. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, плоскостью, проходящей через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Сечение проходит через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1. Обозначим точки, через которые проходит секущая плоскость.

Пусть $K$ — середина ребра $AA_1$, $L$ — середина ребра $BB_1$, $M$ — середина ребра $A_1C_1$.

2. Определим форму сечения.

Отрезок $KL$ соединяет середины параллельных боковых ребер $AA_1$ и $BB_1$. Следовательно, $KL$ параллелен $AB$ и $A_1B_1$, и его длина равна длине ребра основания призмы: $KL = 1$.

Так как $KL$ параллелен $A_1B_1$ (одному из ребер верхнего основания), а точка $M$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$, то линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна $A_1B_1$.

Эта линия проходит через точку $M$, которая является серединой ребра $A_1C_1$. В правильном треугольнике $A_1B_1C_1$ средняя линия, проходящая через середину одной стороны и параллельная другой стороне, соединяет середины двух других сторон. Значит, линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием — это отрезок $MP$, где $P$ — середина ребра $B_1C_1$.

Таким образом, отрезок $MP$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$, параллельной $A_1B_1$. Длина $MP = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Поскольку $KL \parallel A_1B_1$ и $MP \parallel A_1B_1$, то $KL \parallel MP$.

Следовательно, сечением является трапеция $KLPM$ с параллельными основаниями $KL$ и $MP$.

3. Вычислим длины сторон трапеции.

Длины параллельных оснований: $b_1 = KL = 1$, $b_2 = MP = 1/2$.

Для вычисления длин непараллельных сторон $KM$ и $LP$, введем систему координат.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Так как призма правильная и все её ребра равны $1$, координаты вершин будут:

$A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Координаты точек сечения:

$K = (0,0,1/2)$ (середина $AA_1$)

$L = (1,0,1/2)$ (середина $BB_1$)

$M = \left(\frac{0+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1/4, \sqrt{3}/4, 1)$ (середина $A_1C_1$)

$P = \left(\frac{1+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (3/4, \sqrt{3}/4, 1)$ (середина $B_1C_1$)

Длина стороны $KM$: $KM = \sqrt{(1/4-0)^2 + (\sqrt{3}/4-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{(1/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 4/16} = \sqrt{8/16} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина стороны $LP$: $LP = \sqrt{(3/4-1)^2 + (\sqrt{3}/4-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{(-1/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 4/16} = \sqrt{8/16} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $KM = LP$, трапеция $KLPM$ является равнобедренной.

4. Вычислим высоту трапеции.

Высота равнобедренной трапеции — это расстояние между ее параллельными основаниями, измеренное перпендикулярно им. Найдем середины оснований $KL$ и $MP$.

Середина $KL$: $Q_1 = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1/2+1/2}{2}\right) = (1/2, 0, 1/2)$.

Середина $MP$: $Q_2 = \left(\frac{1/4+3/4}{2}, \frac{\sqrt{3}/4+\sqrt{3}/4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1/2, \sqrt{3}/4, 1)$.

Отрезок $Q_1Q_2$ соединяет середины параллельных сторон трапеции. Вектор $\vec{KL} = (1,0,0)$ и вектор $\vec{Q_1Q_2} = (1/2-1/2, \sqrt{3}/4-0, 1-1/2) = (0, \sqrt{3}/4, 1/2)$. Их скалярное произведение $\vec{KL} \cdot \vec{Q_1Q_2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot \sqrt{3}/4 + 0 \cdot 1/2 = 0$. Это подтверждает, что $Q_1Q_2$ перпендикулярен $KL$ (и $MP$). Следовательно, длина $Q_1Q_2$ является высотой трапеции $h_{trap}$.

$h_{trap} = |\vec{Q_1Q_2}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{3/16 + 1/4} = \sqrt{3/16 + 4/16} = \sqrt{7/16} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

5. Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h_{trap}$.

$S = \frac{1 + 1/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{7}}{16}$