Номер 19.3, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.3. Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, плоскостью, проходящей через вершины:

а) $A, C, C_1$;

б) $A, D, D_1$ (рис. 19.6).

Рис. 19.6

a)

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная единица, остается 1 для расчетов).

Найти:

Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины $A, C, C_1$.

Решение

Сечение, проходящее через вершины $A, C, C_1$, является прямоугольником $ACC_1A_1$.

Поскольку боковые ребра призмы $AA_1$ и $CC_1$ перпендикулярны плоскости основания, то они параллельны друг другу и равны по длине $AA_1 = CC_1 = 1$.

В основании $ABCDEF$ лежит правильный шестиугольник. Линия $AC$ является диагональю этого шестиугольника. Линия $A_1C_1$ является такой же диагональю в верхнем основании и параллельна $AC$. Таким образом, $ACC_1A_1$ — это параллелограмм.

Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, то оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая диагональ $AC$. Следовательно, угол $\angle A_1AC = 90^\circ$.

Поэтому параллелограмм $ACC_1A_1$ является прямоугольником.

Для вычисления площади прямоугольника $S_{ACC_1A_1}$ нам необходимо знать длины его сторон: $AA_1$ и $AC$.

Длина $AA_1 = 1$ (дано).

Найдем длину диагонали $AC$ в правильном шестиугольнике со стороной $a=1$. Угол $\angle ABC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$. Используем теорему косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 2 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$

Теперь вычислим площадь сечения:

$S_{ACC_1A_1} = AC \cdot AA_1 = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

б)

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная единица, остается 1 для расчетов).

Найти:

Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины $A, D, D_1$.

Решение

Сечение, проходящее через вершины $A, D, D_1$, является прямоугольником $ADD_1A_1$.

Аналогично предыдущему случаю, боковые ребра призмы $AA_1$ и $DD_1$ перпендикулярны плоскости основания, параллельны друг другу и равны по длине $AA_1 = DD_1 = 1$.

Линия $AD$ является главной (самой длинной) диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Линия $A_1D_1$ является такой же диагональю в верхнем основании и параллельна $AD$. Таким образом, $ADD_1A_1$ — это параллелограмм.

Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, оно перпендикулярно диагонали $AD$. Следовательно, угол $\angle A_1AD = 90^\circ$.

Поэтому параллелограмм $ADD_1A_1$ является прямоугольником.

Для вычисления площади прямоугольника $S_{ADD_1A_1}$ нам необходимо знать длины его сторон: $AA_1$ и $AD$.

Длина $AA_1 = 1$ (дано).

Найдем длину диагонали $AD$ в правильном шестиугольнике со стороной $a=1$. Главная диагональ правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны.

$AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь вычислим площадь сечения:

$S_{ADD_1A_1} = AD \cdot AA_1 = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$