Номер 19.4, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.4. Найдите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, плоскостью, проходящей через вершины $A$, $C$ и $S$ (рис. 19.7).

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра пирамиды равны 1. То есть, $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $C$ и $S$.

Перевод в СИ: Все длины ребер равны 1 (безразмерная величина или условная единица измерения).

Найти:

Площадь сечения $S_{ASC}$.

Решение:

Плоскость, проходящая через вершины $A$, $C$ и $S$, образует треугольное сечение $\triangle ASC$.

1. Найдем длины сторон треугольника $\triangle ASC$.

По условию, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, длины боковых ребер, являющихся сторонами сечения, равны:

$AS = 1$

$SC = 1$

Основание пирамиды $ABCD$ является квадратом со стороной 1. Диагональ $AC$ этого квадрата является третьей стороной сечения. Длину диагонали $AC$ можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ (или $\triangle ADC$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2$

$AC^2 = 1 + 1$

$AC^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Таким образом, стороны треугольника $\triangle ASC$ равны: $AS=1$, $SC=1$, $AC=\sqrt{2}$.

2. Определим тип треугольника $\triangle ASC$ и найдем его площадь.

Проверим, выполняется ли для сторон треугольника $\triangle ASC$ теорема Пифагора. Для этого сравним квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$AS^2 + SC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Так как $AS^2 + SC^2 = AC^2$, то треугольник $\triangle ASC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $S$. Катетами данного треугольника являются $AS$ и $SC$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{ASC} = \frac{1}{2} \cdot AS \cdot SC$

$S_{ASC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1$

$S_{ASC} = \frac{1}{2}$

Ответ:

Площадь сечения равна $0.5$.