Номер 19.1, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.1. Найдите площадь сечения единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плос-костью, проходящей через вершины:

а) $A, B, C_1$;

б) $A, C, D_1$ (рис. 19.4).

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ:

Поскольку конкретные единицы измерения не указаны (единичный куб), будем считать, что $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Площадь сечения плоскостью, проходящей через вершины:

a) A, B, C₁

б) A, C, D₁

Решение:

а) Плоскость, проходящая через вершины A, B, C₁

Обозначим вершины куба в декартовых координатах, приняв вершину A за начало координат (0,0,0) и рёбра, исходящие из неё, за оси координат. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты данных вершин:
A = (0,0,0)
B = (1,0,0)
C₁ = (1,1,1)

Плоскость, проходящая через AB и C₁, содержит ребро AB, которое лежит в нижней грани куба. Поскольку верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$, а точка C₁ лежит в верхней грани, то сечение должно проходить через линию в верхней грани, параллельную AB и проходящую через C₁. Такой линией является отрезок D₁C_{1}$. Таким образом, четвёртой вершиной сечения является D1(0,1,1).}

Сечение представляет собой четырёхугольник $ABD_1C_1$.

Вычислим длины сторон и проверим углы:
Сторона $AB = 1$ (ребро куба).
Сторона $AD_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ (диагональ грани $AA_1D_1D$).
Сторона $D_1C_1 = 1$ (ребро куба, параллельное $AB$).
Сторона $BC_1 = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ (диагональ грани $BB_1C_1C$).

Поскольку $AB \parallel D_1C_1$ и $AD_1 \parallel BC_1$, четырёхугольник $ABD_1C_1$ является параллелограммом. Для проверки, является ли он прямоугольником, вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}=(1,0,0)$ и $\vec{AD_1}=(0,1,1)$: $\vec{AB} \cdot \vec{AD_1} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(1) = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, что означает, что угол $\angle DAB$ в сечении равен $90^{\circ}$. Следовательно, четырёхугольник $ABD_1C_1$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $S_a = AB \times AD_1 = 1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) Плоскость, проходящая через вершины A, C, D₁

Координаты данных вершин:
A = (0,0,0)
C = (1,1,0)
D₁ = (0,1,1)

Эти три точки определяют плоскость сечения. Проверка других вершин куба показывает, что ни одна из них не лежит в этой плоскости (уравнение плоскости $x-y+z=0$, что можно получить, например, через нормальный вектор $\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = (1,-1,1)$). Следовательно, сечением является треугольник $ACD_1$.

Вычислим длины сторон этого треугольника:
Сторона $AC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ (диагональ грани $ABCD$).
Сторона $AD_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ (диагональ грани $AA_1D_1D$).
Сторона $CD_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$ (диагональ грани $CDD_1C_1$).

Поскольку все стороны треугольника $ACD_1$ равны $\sqrt{2}$, этот треугольник является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

В нашем случае $s = \sqrt{2}$.

Площадь сечения $S_b = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$