Номер 18.9, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.9. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три точки $E$, $F$, $G$, расположенные так, как показано на рисунке $18.16$.

Рис. $18.16$

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через три заданные точки $E$, $F$, $G$, воспользуемся методом следов и свойством параллельности граней куба.

Дано:

Куб с вершинами $A, B, C, D$ в основании и $A_1, B_1, C_1, D_1$ в верхней грани.

Точки $E$, $F$, $G$ расположены на рёбрах куба: $E \in AB$, $F \in CC_1$, $G \in A_1D_1$, как показано на рисунке 18.16.

Найти:

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки $E, F, G$.

Решение:

Построение сечения будет заключаться в нахождении точек пересечения секущей плоскости с рёбрами куба, а затем соединении этих точек на соответствующих гранях.

1. Нахождение следа секущей плоскости на нижней грани $ABCD$.

   Точка $E$ лежит на ребре $AB$, которое находится в плоскости нижней грани $ABCD$, следовательно, $E$ является одной из точек сечения на этой грани.

   Для нахождения второй точки на плоскости $ABCD$ определим точку пересечения прямой $FG$ с этой плоскостью. Прямая $FG$ проходит через точку $F$ на ребре $CC_1$ и точку $G$ на ребре $A_1D_1$.

   Рассмотрим диагональную плоскость $A_1D_1C_1C$. Эта плоскость содержит прямую $A_1D_1$ (и, следовательно, точку $G$) и прямую $CC_1$ (и, следовательно, точку $F$). Таким образом, прямая $FG$ лежит в плоскости $A_1D_1C_1C$.

   Плоскость $A_1D_1C_1C$ пересекает плоскость нижней грани $ABCD$ по линии $DC$. Следовательно, прямая $FG$ (продолженная) пересечёт линию $DC$ (продолженную) в некоторой точке $K$. Точка $K$ является второй точкой следа секущей плоскости на плоскости $ABCD$.

   Соединим точки $E$ и $K$. Прямая $EK$ является следом секущей плоскости на плоскости $ABCD$. Эта прямая $EK$ пересечёт ребро $BC$ в точке $P$. Таким образом, отрезок $EP$ является первой стороной сечения на грани $ABCD$.

2. Построение стороны сечения на правой грани $BCC_1B_1$.

   Точки $P$ (найденная на $BC$) и $F$ (данная на $CC_1$) лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$. Соединим их. Отрезок $PF$ является второй стороной сечения.

3. Построение стороны сечения на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

   Нижняя грань $ABCD$ параллельна верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, линии пересечения секущей плоскости с этими гранями должны быть параллельны. Мы уже нашли след $EK$ на нижней грани. Значит, след на верхней грани должен быть параллелен $EK$ и проходить через точку $G$ (которая лежит на ребре $A_1D_1$ верхней грани).

   Через точку $G$ проведём прямую, параллельную $EK$. Эта прямая пересечёт ребро $A_1B_1$ в точке $Q$. Таким образом, отрезок $GQ$ является третьей стороной сечения.

4. Построение стороны сечения на левой грани $ADD_1A_1$.

   Правая грань $BCC_1B_1$ параллельна левой грани $ADD_1A_1$. Мы уже нашли сторону $PF$ на правой грани. Следовательно, сторона сечения на левой грани должна быть параллельна $PF$ и проходить через точку $G$ (которая лежит на ребре $A_1D_1$ левой грани).

   Через точку $G$ проведём прямую, параллельную $PF$. Эта прямая пересечёт ребро $DD_1$ в точке $R$. Таким образом, отрезок $GR$ является четвёртой стороной сечения.

5. Построение стороны сечения на задней грани $CDD_1C_1$.

   Точки $F$ (на $CC_1$) и $R$ (найденная на $DD_1$) лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Соединим их. Отрезок $FR$ является пятой стороной сечения.

6. Построение стороны сечения на передней грани $ABB_1A_1$.

   Точки $Q$ (найденная на $A_1B_1$) и $E$ (данная на $AB$) лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их. Отрезок $QE$ является шестой, завершающей стороной сечения.

Таким образом, построенное сечение представляет собой шестиугольник $EPFRGQ$.

Ответ: Сечение куба, проходящее через точки $E$, $F$, $G$, представляет собой шестиугольник $EPFRGQ$, где $P$ — точка на ребре $BC$, $R$ — точка на ребре $DD_1$, $Q$ — точка на ребре $A_1B_1$, найденные в ходе построения.