Номер 18.7, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.7. Постройте сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $B$ и $D_1$ (рис. 18.14). Определите вид сечения.

Рис. 18.14

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $B$ и $D_1$.

Найти:

Построить сечение.

Определить вид сечения.

Решение:

Построение сечения

1. Соединим вершины $A$ и $B$. Отрезок $AB$ является частью искомого сечения, так как обе точки лежат в нижнем основании призмы $ABCDEF$.

2. Поскольку нижнее основание $ABCDEF$ и верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны, то линии пересечения плоскости сечения с этими основаниями также должны быть параллельны.

3. В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна стороне $ED$. Следовательно, в верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ отрезок, параллельный $AB$, будет $E_1D_1$. Так как точка $D_1$ принадлежит плоскости сечения, а отрезок $E_1D_1$ проходит через $D_1$ и параллелен $AB$, то $E_1D_1$ является частью сечения.

4. Соединим оставшиеся вершины, принадлежащие сечению: $A$ с $E_1$ и $B$ с $D_1$. Эти отрезки являются линиями пересечения плоскости сечения с соответствующими боковыми гранями призмы.

5. Таким образом, искомое сечение представляет собой четырехугольник $ABE_1D_1$.

Ответ:

Определение вида сечения

1. Сечение $ABE_1D_1$ имеет две стороны, $AB$ и $E_1D_1$, которые лежат на параллельных основаниях. В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна стороне $ED$. Поскольку $ED$ является ребром нижнего основания, а $E_1D_1$ - соответствующим ребром верхнего основания, то $AB \parallel E_1D_1$. Также, как стороны правильных шестиугольников, $AB = E_1D_1$.

2. Поскольку две противоположные стороны четырехугольника $ABE_1D_1$ (а именно $AB$ и $E_1D_1$) параллельны и равны по длине, четырехугольник $ABE_1D_1$ является параллелограммом.

3. Для определения более точного вида параллелограмма, проверим, являются ли его смежные стороны перпендикулярными. Для этого рассмотрим скалярное произведение векторов, представляющих смежные стороны, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$.

Пусть сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а высота призмы $h$. Введем систему координат, расположив центр нижнего основания в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты вершин:Вершина $A = (a, 0, 0)$Вершина $B = (a \cdot \cos(60^\circ), a \cdot \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$Вершина $D_1 = (-a, 0, h)$ (поскольку $D$ находится напротив $A$ в основании, $D=(-a,0,0)$)Вершина $E_1 = (a \cdot \cos(240^\circ), a \cdot \sin(240^\circ), h) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, h)$

Вектор $\vec{AB} = B - A = (a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.Вектор $\vec{AE_1} = E_1 - A = (-a/2 - a, -a\sqrt{3}/2 - 0, h - 0) = (-3a/2, -a\sqrt{3}/2, h)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$:$\vec{AB} \cdot \vec{AE_1} = (-a/2) \cdot (-3a/2) + (a\sqrt{3}/2) \cdot (-a\sqrt{3}/2) + (0) \cdot h$$= \frac{3a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} + 0 = 0$.

4. Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$ равно нулю, это означает, что отрезки $AB$ и $AE_1$ перпендикулярны. Следовательно, углы параллелограмма $ABE_1D_1$ прямые.

5. Таким образом, сечение $ABE_1D_1$ является прямоугольником.

Ответ: