Номер 18.5, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.5. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три точки $E, F, G$, расположенные так, как показано на рисунке 18.12.

Рис. 18.12

Задача требует построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки $E$, $F$, $G$. Точка $E$ расположена на ребре $AB$, точка $F$ — на ребре $B_1C_1$, а точка $G$ — на ребре $D_1C_1$.

Построение сечения куба

Построение сечения многогранника плоскостью, заданной тремя точками, основывается на следующих принципах:

1. Если две точки сечения лежат на одной грани многогранника, то отрезок, соединяющий эти точки, является частью искомого сечения.
2. Если плоскость сечения пересекает две параллельные грани, то линии пересечения (следы) плоскости сечения с этими гранями параллельны.
3. Если прямая, содержащая ребро многогранника, пересекается с прямой, лежащей в плоскости сечения, то точка их пересечения является точкой плоскости сечения и лежит в той же грани, что и ребро.

Применяя эти принципы, построим сечение:

Шаг 1. Находим отрезок сечения на верхней грани.
Точки $F$ и $G$ лежат на одной грани куба — верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Соединяем эти точки отрезком $FG$. Отрезок $FG$ является одной из сторон искомого сечения.

Шаг 2. Находим вспомогательную точку для построения следа на передней грани.
Проведем прямую $l_{FG}$, содержащую отрезок $FG$, в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. По рисунку видно, что точки $F$ и $G$ расположены ближе к ребру $C_1B_1$ и $C_1D_1$ соответственно. Поэтому прямая $l_{FG}$ при продлении пересечет продолжение ребра $A_1B_1$ (в направлении от $B_1$ за $A_1B_1$) в точке $S$.
(Если бы $F$ была ближе к $B_1$, а $G$ к $D_1$, то $S$ мог бы быть между $A_1$ и $B_1$. По рисунку $F$ ближе к $C_1$, $G$ ближе к $C_1$, так что $l_{FG}$ пересекает продолжение $A_1B_1$ за $B_1$ или $A_1D_1$ за $D_1$. Допустим, она пересекает продолжение $A_1B_1$ в точке $S$.)

Шаг 3. Находим след сечения на передней грани.
Точка $E$ лежит на ребре $AB$, которое принадлежит передней грани $ABB_1A_1$. В этой же плоскости лежит вспомогательная точка $S$ (поскольку она лежит на прямой, содержащей ребро $A_1B_1$). Соединяем точки $E$ и $S$. Прямая $ES$ является следом плоскости сечения на передней грани $ABB_1A_1$.
Прямая $ES$ пересечет ребро $BB_1$ в точке $M$. Точка $M$ является вершиной сечения.
Отрезок $EM$ является частью сечения.

Шаг 4. Находим отрезок сечения на правой грани.
Точка $F$ лежит на ребре $B_1C_1$, а точка $M$ — на ребре $BB_1$. Обе эти точки лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$. Соединяем $F$ и $M$. Отрезок $FM$ является частью сечения.

Шаг 5. Находим след сечения на нижней грани.
Нижняя грань $ABCD$ параллельна верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Согласно свойству параллельных граней, линии их пересечения с плоскостью сечения должны быть параллельны. След сечения на верхней грани — прямая $FG$. Следовательно, след сечения на нижней грани должен быть параллелен $FG$ и проходить через точку $E$.
Проводим через точку $E$ в плоскости $ABCD$ прямую, параллельную $FG$. Эта прямая пересекает ребро $CD$ в точке $Q$. Точка $Q$ является вершиной сечения.
Отрезок $EQ$ является частью сечения.

Шаг 6. Находим отрезок сечения на задней грани.
Точка $G$ лежит на ребре $D_1C_1$, а точка $Q$ — на ребре $CD$. Обе эти точки лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Соединяем $G$ и $Q$. Отрезок $GQ$ является частью сечения.

Шаг 7. Завершаем построение сечения.
Мы нашли все вершины сечения на рёбрах куба: $E$ (на $AB$), $M$ (на $BB_1$), $F$ (на $B_1C_1$), $G$ (на $D_1C_1$), $Q$ (на $CD$).
Соединяя эти точки в порядке их обхода по граням куба, получаем многоугольник $EMFGQ$.
Отрезки сечения: $EM$, $MF$, $FG$, $GQ$, $QE$.

Проверяем, что многоугольник замкнут и все его стороны лежат на гранях куба:

• $EM$ лежит на передней грани $ABB_1A_1$.
• $MF$ лежит на правой грани $BCC_1B_1$.
• $FG$ лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
• $GQ$ лежит на задней грани $CDD_1C_1$.
• $QE$ лежит на нижней грани $ABCD$.

Все отрезки лежат на гранях куба, и многоугольник замкнут. Таким образом, искомое сечение — пятиугольник $EMFGQ$.

Ответ: Сечение куба — пятиугольник $EMFGQ$, построенный по описанным выше шагам.