Номер 18.3, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.3. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A, C$ и середину ребра $A_1D_1$. Определите его вид.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $C$ и середину ребра $A_1D_1$.

Найти: Построить сечение и определить его вид.

Решение:

Построение сечения:

Обозначим середину ребра $A_1D_1$ как $M$. Для построения сечения куба заданной плоскостью, проходящей через точки $A$, $C$ и $M$, выполним следующие шаги:

Соединим точки $A$ и $C$. Эти две точки лежат в одной грани куба $ABCD$ (нижняя грань), поэтому отрезок $AC$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и, следовательно, частью искомого сечения.

Соединим точки $A$ и $M$. Эти точки лежат в одной грани $AA_1D_1D$ (боковая грань). Отрезок $AM$ также является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и частью искомого сечения.

Далее, рассмотрим верхнюю грань куба $A_1B_1C_1D_1$. Грань $ABCD$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1$. По свойству параллельных плоскостей, если плоскость (в данном случае секущая) пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Так как отрезок $AC$ лежит в плоскости $ABCD$ и является частью сечения, то линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$ должна быть параллельна $AC$.

Эта линия должна проходить через точку $M$, которая является серединой ребра $A_1D_1$. Поскольку диагональ $AC$ в нижней грани параллельна диагонали $A_1C_1$ в верхней грани, то искомая линия, проходящая через $M$, будет параллельна $A_1C_1$. В треугольнике $A_1D_1C_1$, если провести прямую через середину $M$ ребра $A_1D_1$ параллельно $A_1C_1$, то по теореме о средней линии треугольника (или теореме Фалеса) эта прямая пересечет ребро $D_1C_1$ в его середине. Обозначим эту точку как $N$. Отрезок $MN$ является частью искомого сечения.

Наконец, у нас есть точки $N$ и $C$. Эти точки лежат в одной грани $CDD_1C_1$ (боковая грань). Соединим их отрезком $NC$. Этот отрезок является завершающей частью искомого сечения.

Таким образом, сечением является четырехугольник $AMNC$.

Определение вида сечения:

Для определения вида полученного четырехугольника $AMNC$, проанализируем его стороны:

1.Параллельность сторон: Из построения мы знаем, что $MN \parallel AC$. Это следует из того, что $MN$ была построена параллельно $A_1C_1$, а $A_1C_1 \parallel AC$ (как диагонали параллельных граней куба). Поскольку в четырехугольнике $AMNC$ две стороны $MN$ и $AC$ параллельны, то этот четырехугольник является трапецией.

2.Длины непараллельных сторон: Пусть длина ребра куба равна $a$. Для вычисления длин сторон используем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин: $A(0,0,0)$, $C(a,a,0)$. Ребро $A_1D_1$ имеет концы $A_1(0,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$. Середина $M$ ребра $A_1D_1$ имеет координаты $M\left(0, \frac{a}{2}, a\right)$. Ребро $D_1C_1$ имеет концы $D_1(0,a,a)$ и $C_1(a,a,a)$. Середина $N$ ребра $D_1C_1$ имеет координаты $N\left(\frac{a}{2}, a, a\right)$.

Длина стороны $AM$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

$AM = \sqrt{(0-0)^2 + \left(\frac{a}{2}-0\right)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Длина стороны $NC$ вычисляется аналогично:

$NC = \sqrt{\left(\frac{a}{2}-a\right)^2 + (a-a)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + 0 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку длины непараллельных сторон $AM$ и $NC$ равны ($AM = NC = \frac{a\sqrt{5}}{2}$), трапеция $AMNC$ является равнобедренной.

Для полноты, также укажем длины параллельных оснований:

Длина $AC = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Длина $MN = \sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^2 + \left(a-\frac{a}{2}\right)^2 + (a-a)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Длины оснований $AC = a\sqrt{2}$ и $MN = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечением является равнобедренная трапеция $AMNC$, где $M$ - середина ребра $A_1D_1$, а $N$ - середина ребра $D_1C_1$.