Номер 18.2, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.2. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1D_1$. Определите его вид.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскость проходит через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1D_1$.

Найти:

1. Построить сечение куба указанной плоскостью.

2. Определить вид полученного сечения.

Решение:

Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1D_1$.

Пусть $K$ — середина ребра $AB$, $L$ — середина ребра $BC$, $M$ — середина ребра $A_1D_1$. Эти три точки определяют секущую плоскость.

1. Точки $K$ и $L$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединяем их отрезком $KL$. Этот отрезок является частью искомого сечения.

2. Плоскость грани $A_1B_1C_1D_1$ параллельна плоскости грани $ABCD$. Если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Таким образом, линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$ должна быть параллельна отрезку $KL$. Так как $KL$ соединяет середины смежных ребер $AB$ и $BC$, то прямая, параллельная $KL$ и проходящая через точку $M$ (середину $A_1D_1$), соединит $M$ с серединой ребра $C_1D_1$. Обозначим эту середину как $N$. Отрезок $MN$ является частью искомого сечения.

3. Рассмотрим плоскость боковой грани $ADD_1A_1$. Точка $M$ лежит на ребре $A_1D_1$. Для нахождения следующей точки сечения в этой грани, продлим отрезок $KL$ до пересечения с продолжением ребра $AD$. Пусть точка их пересечения будет $Q$. Точка $Q$ лежит в плоскости сечения и в плоскости грани $ADD_1A_1$. Соединим точки $Q$ и $M$. Прямая $QM$ пересечет ребро $AA_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку как $P_A$. Расчеты показывают, что $P_A$ является серединой ребра $AA_1$. Отрезок $MP_A$ является частью искомого сечения.

4. Соединим точки $P_A$ и $K$. Отрезок $P_AK$ лежит в плоскости грани $ABA_1B_1$ и является частью искомого сечения.

5. Рассмотрим плоскость боковой грани $CDD_1C_1$. Точка $N$ лежит на ребре $C_1D_1$. Продлим отрезок $KL$ до пересечения с продолжением ребра $DC$. Пусть точка их пересечения будет $P$. Точка $P$ лежит в плоскости сечения и в плоскости грани $CDD_1C_1$. Соединим точки $P$ и $N$. Прямая $PN$ пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку как $P_C$. Расчеты показывают, что $P_C$ является серединой ребра $CC_1$. Отрезок $P_CN$ является частью искомого сечения.

6. Соединим точки $L$ и $P_C$. Отрезок $LP_C$ лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$ и является частью искомого сечения.

Таким образом, сечение куба представляет собой многоугольник $P_AKLP_CNM$, вершины которого являются серединами ребер $AA_1$, $AB$, $BC$, $CC_1$, $C_1D_1$ и $A_1D_1$ соответственно.

Ответ: Сечение построено как шестиугольник $P_AKLP_CNM$, где $P_A, K, L, P_C, N, M$ — середины ребер $AA_1, AB, BC, CC_1, C_1D_1, A_1D_1$ соответственно.

Определите его вид.

Для определения вида полученного многоугольника, вычислим длины его сторон и углы. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Каждая сторона многоугольника соединяет середины двух смежных ребер куба (либо в одной грани, либо в смежных гранях). Например, $P_A$ — середина $AA_1$, $K$ — середина $AB$. $P_AK$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длиной $a/2$.

Длина каждой стороны сечения: $|P_AK| = \sqrt{(AK)^2 + (AP_A)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Аналогично, длины всех остальных сторон также равны $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, все шесть сторон шестиугольника $P_AKLP_CNM$ равны.

Далее, проверим параллельность противоположных сторон:

1. Отрезки $KL$ и $MN$ параллельны, так как они являются линиями пересечения секущей плоскости с параллельными гранями $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ соответственно. Также их равенство было установлено.

2. Рассмотрим отрезки $P_AK$ и $P_CN$. $\vec{P_AK} = K - P_A$. Если $A$ — начало координат $(0,0,0)$, то $P_A(0,0,\frac{a}{2})$, $K(\frac{a}{2},0,0)$. $\vec{P_AK} = (\frac{a}{2}, 0, -\frac{a}{2})$. $P_C(a,a,\frac{a}{2})$, $N(\frac{a}{2},a,a)$. $\vec{P_CN} = N - P_C = (\frac{a}{2}-a, a-a, a-\frac{a}{2}) = (-\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})$. Так как $\vec{P_AK} = - \vec{P_CN}$, то $P_AK \parallel P_CN$.

3. Рассмотрим отрезки $LP_C$ и $MP_A$. $L(a,\frac{a}{2},0)$, $P_C(a,a,\frac{a}{2})$. $\vec{LP_C} = P_C - L = (0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$. $M(0,\frac{a}{2},a)$, $P_A(0,0,\frac{a}{2})$. $\vec{MP_A} = P_A - M = (0, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})$. Так как $\vec{LP_C} = - \vec{MP_A}$, то $LP_C \parallel MP_A$.

Поскольку все стороны равны и противоположные стороны параллельны, это указывает на то, что многоугольник является центрально-симметричным и, возможно, правильным.

Вычислим величину одного из углов, например, $\angle P_AKL$. В вершине $K$, находящейся на ребре $AB$, сходятся отрезки $P_AK$ и $KL$. Векторы $\vec{KP_A} = (-\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})$ и $\vec{KL} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$. Скалярное произведение $\vec{KP_A} \cdot \vec{KL} = (-\frac{a}{2})(\frac{a}{2}) + (0)(\frac{a}{2}) + (\frac{a}{2})(0) = -\frac{a^2}{4}$. Длины векторов: $|\vec{KP_A}| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, $|\vec{KL}| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. $\cos(\angle P_AKL) = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\frac{a^2}{2}} = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $\angle P_AKL = 120^\circ$.

Благодаря симметрии куба, все углы этого шестиугольника будут равны $120^\circ$.

Шестиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, является правильным шестиугольником.

Ответ: Полученное сечение представляет собой правильный шестиугольник.