Номер 17.21, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.21. Докажите, что в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, плоскости $ACB_1$ и $ABD_1$ перпендикулярны.

Докажите, что в правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, плоскости $ACB_1$ и $ABD_1$ перпендикулярны.

Дано:

• Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

• Длины всех ребер призмы равны 1.

Перевод в СИ:

• Длина стороны основания шестиугольника $a = 1 \text{ м}$

• Высота призмы $h = 1 \text{ м}$

Найти:

• Доказать, что плоскости $ACB_1$ и $ABD_1$ перпендикулярны.

Решение:

Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей воспользуемся методом координат. Разместим правильную шестиугольную призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку все ребра призмы равны 1, длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Расположим вершины нижнего основания следующим образом (для $a=1$):

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются смещением по оси $z$ на высоту призмы $h=1$:

• $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

Для определения нормального вектора плоскости $ACB_1$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$.

Вектор $\vec{AC}$: $C - A = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор $\vec{AB_1}$: $B_1 - A = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ плоскости $ACB_1$ равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n_1} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n_1} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) + \mathbf{k}(-\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}))$

$\vec{n_1} = \mathbf{i}\frac{\sqrt{3}}{2} - \mathbf{j}(-\frac{3}{2}) + \mathbf{k}(-\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4})$

$\vec{n_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{2\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для упрощения вычислений, умножим этот нормальный вектор на $\frac{2}{\sqrt{3}}$ (это не изменит его направление):

$\vec{n_1}' = (1, \sqrt{3}, -1)$

Далее, для определения нормального вектора плоскости $ABD_1$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AD_1}$.

Вектор $\vec{AB}$: $B - A = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор $\vec{AD_1}$: $D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ плоскости $ABD_1$ равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n_2} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) + \mathbf{k}(-\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-2))$

$\vec{n_2} = \mathbf{i}\frac{\sqrt{3}}{2} - \mathbf{j}(-\frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\sqrt{3})$

$\vec{n_2} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \sqrt{3})$

Для упрощения вычислений, умножим этот нормальный вектор на 2:

$\vec{n_2}' = (\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{3})$

Две плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные векторы, то есть их скалярное произведение равно нулю.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1}'$ и $\vec{n_2}'$:

$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (1)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})(1) + (-1)(2\sqrt{3})$

$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = \sqrt{3} + \sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = 0$

Так как скалярное произведение нормальных векторов $\vec{n_1}'$ и $\vec{n_2}'$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, плоскости $ACB_1$ и $ABD_1$ также перпендикулярны.

Ответ:

Плоскости $ACB_1$ и $ABD_1$ перпендикулярны.