Номер 17.15, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.15. Найдите косинус двугранного угла, образованного соседними гранями правильного тетраэдра (рис. 17.15).

Рис. 17.15

Дано:

Правильный тетраэдр.

Найти:

Косинус двугранного угла между соседними гранями.

Решение:

Пусть длина ребра правильного тетраэдра равна $a$. Все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Рассмотрим две соседние грани, например, грани $ABC$ и $DBC$, которые имеют общее ребро $BC$.

Двугранный угол между плоскостями – это угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к общему ребру, проведенными к одной точке на этом ребре.

Пусть $M$ – середина ребра $BC$. Так как треугольники $ABC$ и $DBC$ являются равносторонними, медианы $AM$ и $DM$ также являются высотами. Следовательно, $AM \perp BC$ и $DM \perp BC$.

Угол между прямыми $AM$ и $DM$ – это и есть искомый двугранный угол. Обозначим его как $\phi = \angle AMD$.

Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Длина ребра $AD$ также равна $a$.

Рассмотрим треугольник $ADM$. Его стороны: $AD = a$ $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Применим теорему косинусов к треугольнику $ADM$ для угла $\phi$: $AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos \phi$

Подставим значения: $a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos \phi$

Упростим выражение: $a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos \phi$ $a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos \phi$ $a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos \phi$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (при условии $a \neq 0$): $1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos \phi$

Выразим $\cos \phi$: $\frac{3}{2} \cdot \cos \phi = \frac{3}{2} - 1$ $\frac{3}{2} \cdot \cos \phi = \frac{1}{2}$ $\cos \phi = \frac{1/2}{3/2}$ $\cos \phi = \frac{1}{3}$

Ответ:

$\frac{1}{3}$