Номер 17.9, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.9. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите косинус угла между плоскостями $ACB_1$ и $ACD_1$.

17.10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$...

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскости $ACB_1$ и $ACD_1$.

Перевод в СИ:

Не требуется, так как исходные данные не содержат физических величин.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $ACB_1$ и $ACD_1$.

Решение:

1. Выбор системы координат:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат так, что вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$D = (0,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

2. Нахождение нормального вектора к плоскости $ACB_1$:

Плоскость $ACB_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $C(a,a,0)$ и $B_1(a,0,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящие из точки $A$:

$\vec{AC} = C - A = (a,a,0)$

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a,0,a)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AB_1}$:

$\vec{n_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{pmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - a \cdot a)$

$\vec{n_1} = (a^2, -a^2, -a^2)$

Для удобства можно использовать более простой нормальный вектор, разделив на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$): $\vec{n_1}' = (1, -1, -1)$.

3. Нахождение нормального вектора к плоскости $ACD_1$:

Плоскость $ACD_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $C(a,a,0)$ и $D_1(0,a,a)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящие из точки $A$:

$\vec{AC} = C - A = (a,a,0)$

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $ACD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n_2} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ 0 & a & a \end{pmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a)$

$\vec{n_2} = (a^2, -a^2, a^2)$

Аналогично, можно использовать более простой нормальный вектор, разделив на $a^2$: $\vec{n_2}' = (1, -1, 1)$.

4. Вычисление косинуса угла между плоскостями:

Косинус угла $\phi$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами. Формула для косинуса угла между двумя векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\cos \alpha = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{||\vec{v_1}|| \cdot ||\vec{v_2}||}$

Для угла между плоскостями берется модуль этого значения, так как угол между плоскостями по определению острый или прямой ($\phi \in [0, \frac{\pi}{2}]$):

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'|}{||\vec{n_1}'|| \cdot ||\vec{n_2}'||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'$:

$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (1)(1) + (-1)(-1) + (-1)(1) = 1 + 1 - 1 = 1$

Вычислим длины векторов $\vec{n_1}'$ и $\vec{n_2}'$:

$||\vec{n_1}'|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$

$||\vec{n_2}'|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

Ответ:

$\frac{1}{3}$