Номер 17.8, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

провести через данную точ

17.8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между плоскостями:

а) $ABC$ и $AB_1D_1$;

б) $ABC$ и $ACB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Найти:

Тангенс угла между плоскостями:

а) $ABC$ и $AB_1D_1$;

б) $ABC$ и $ACB_1$.

Решение

а) $ABC$ и $AB_1D_1$

Угол между двумя плоскостями можно найти с помощью формулы $\cos \phi = \frac{S_{\text{проекции}}}{S_{\text{оригинала}}}$, где $S_{\text{оригинала}}$ - площадь фигуры, лежащей в одной из плоскостей, а $S_{\text{проекции}}$ - площадь ее ортогональной проекции на другую плоскость.

Рассмотрим плоскость $AB_1D_1$. Треугольник $AB_1D_1$ лежит в этой плоскости.

Найдем длины сторон треугольника $AB_1D_1$:

$AB_1$ - это диагональ грани $ABB_1A_1$. По теореме Пифагора $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

$AD_1$ - это диагональ грани $ADD_1A_1$. $AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

$B_1D_1$ - это диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$. $B_1D_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $AB_1D_1$ является равносторонним со стороной $a\sqrt{2}$.

Площадь равностороннего треугольника $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (\text{сторона})^2$.

$S_{AB_1D_1} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2a^2) = \frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

Плоскость $ABC$ - это плоскость основания $ABCD$.

Ортогональной проекцией треугольника $AB_1D_1$ на плоскость $ABC$ является треугольник $ABD$, так как точка $A$ лежит в плоскости $ABC$, а точки $B_1$ и $D_1$ проецируются на $B$ и $D$ соответственно (поскольку ребра $BB_1$ и $DD_1$ перпендикулярны плоскости $ABC$).

Треугольник $ABD$ является прямоугольным (в квадрате $ABCD$ угол $BAD = 90^\circ$).

Площадь прямоугольного треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$.

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$.

Косинус угла $\phi$ между плоскостями $ABC$ и $AB_1D_1$ равен:

$\cos \phi = \frac{S_{ABD}}{S_{AB_1D_1}} = \frac{a^2/2}{\sqrt{3}a^2/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем тангенс угла $\phi$, используя тригонометрическое тождество $\tan^2 \phi + 1 = \frac{1}{\cos^2 \phi}$:

$\tan^2 \phi = \frac{1}{\cos^2 \phi} - 1 = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} - 1 = \frac{1}{1/3} - 1 = 3 - 1 = 2$.

Так как угол между плоскостями по определению является острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), его тангенс должен быть положительным.

$\tan \phi = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) $ABC$ и $ACB_1$

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между перпендикулярами к их линии пересечения, проведенными в каждой из плоскостей из одной точки на линии пересечения.

Плоскость $ABC$ - это плоскость основания куба $ABCD$.

Плоскость $ACB_1$ проходит через точки $A$, $C$ и $B_1$.

Линией пересечения плоскостей $ABC$ и $ACB_1$ является прямая $AC$.

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому $BD \perp AC$. Значит, $BO \perp AC$.

Длина отрезка $OB$: $BD$ - диагональ квадрата $ABCD$, $BD = a\sqrt{2}$. Тогда $OB = \frac{1}{2} BD = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Теперь рассмотрим плоскость $ACB_1$. Нам нужно найти прямую в этой плоскости, проходящую через $O$ и перпендикулярную $AC$.

Соединим точку $B_1$ с точкой $O$. Рассмотрим прямую $B_1O$.

Ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Так как $AC$ лежит в плоскости $ABC$, то $B_1B \perp AC$.

Мы также знаем, что $BO \perp AC$.

По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной ($BO$) на плоскость перпендикулярна некоторой прямой ($AC$), лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная ($B_1O$) перпендикулярна этой прямой.

Таким образом, $B_1O \perp AC$.

Следовательно, угол между плоскостями $ABC$ и $ACB_1$ - это угол между прямыми $BO$ и $B_1O$, то есть угол $\angle B_1OB$.

Рассмотрим треугольник $B_1OB$. Поскольку $B_1B \perp ABC$, то $B_1B \perp OB$. Значит, треугольник $B_1OB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Длина катета $B_1B = a$ (ребро куба).

Длина катета $OB = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Тангенс угла $\angle B_1OB$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle B_1OB) = \frac{B_1B}{OB} = \frac{a}{a/\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$