Номер 17.11, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.11. Докажите, что в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ перпендикулярны плоскости:

а) $ABC$ и $ABB_1$;

б) $ABC$ и $ACC_1$;

в) $ABC$ и $ADD_1$;

г) $ACC_1$ и $BEE_1$;

д) $ADD_1$ и $BFF_1$.

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой. Это означает, что её основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками, а боковые рёбра (например, $AA_1, BB_1$, и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований.

Решение

а) $ABC$ и $ABB_1$

Плоскость $ABC$ является плоскостью основания призмы. Плоскость $ABB_1$ является боковой гранью призмы. По определению правильной призмы, её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Таким образом, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Поскольку линия $AA_1$ лежит в плоскости $ABB_1$, то плоскость $ABB_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Доказано.

б) $ABC$ и $ACC_1$

Плоскость $ABC$ является плоскостью основания призмы. Плоскость $ACC_1$ является диагональным сечением. По определению правильной призмы, её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Таким образом, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Поскольку линия $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1$, то плоскость $ACC_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Доказано.

в) $ABC$ и $ADD_1$

Плоскость $ABC$ является плоскостью основания призмы. Плоскость $ADD_1$ является диагональным сечением. По определению правильной призмы, её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Таким образом, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Поскольку линия $AA_1$ лежит в плоскости $ADD_1$, то плоскость $ADD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Доказано.

г) $ACC_1$ и $BEE_1$

Плоскости $ACC_1$ и $BEE_1$ являются диагональными сечениями. Чтобы доказать перпендикулярность двух плоскостей, достаточно показать, что одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $s$ — длина стороны шестиугольника.

В правильном шестиугольнике:
1. Главные диагонали (например, $AD, BE, CF$) проходят через центр $O$ и делят шестиугольник на 6 равносторонних треугольников.
2. Короткие диагонали (например, $AC, BD, CE, DF, EA, FB$) соединяют вершины через одну.

Докажем, что в правильном шестиугольнике диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BE$.
Воспользуемся координатами. Пусть центр шестиугольника $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Пусть сторона шестиугольника равна $s$.
Координаты вершин:
$A = (s, 0, 0)$
$B = (s/2, s\sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-s/2, s\sqrt{3}/2, 0)$
$E = (-s/2, -s\sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{AC} = C - A = (-s/2 - s, s\sqrt{3}/2 - 0, 0) = (-3s/2, s\sqrt{3}/2, 0)$.
Вектор $\vec{BE} = E - B = (-s/2 - s/2, -s\sqrt{3}/2 - s\sqrt{3}/2, 0) = (-s, -s\sqrt{3}, 0)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (-3s/2)(-s) + (s\sqrt{3}/2)(-s\sqrt{3}) + (0)(0)$
$= 3s^2/2 - 3s^2/2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ равно нулю, эти векторы, а следовательно и соответствующие им прямые $AC$ и $BE$, перпендикулярны в плоскости основания. То есть, $AC \perp BE$.

Теперь вернемся к плоскостям.
1. Боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$, то $BB_1 \perp AC$.
2. Прямая $BE$ лежит в плоскости основания $ABC$. Мы доказали, что $AC \perp BE$.

Таким образом, прямая $AC$ (лежащая в плоскости $ACC_1$) перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BE$ и $BB_1$), лежащим в плоскости $BEE_1$. Из этого следует, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEE_1$.

Поскольку прямая $AC$ лежит в плоскости $ACC_1$ и перпендикулярна плоскости $BEE_1$, то плоскости $ACC_1$ и $BEE_1$ перпендикулярны.

Ответ: Доказано.

д) $ADD_1$ и $BFF_1$

Плоскости $ADD_1$ и $BFF_1$ являются диагональными сечениями, проходящими через главные диагонали основания.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$.
Прямая $AD$ является главной диагональю, проходящей через центр $O$.
Прямая $BF$ также является главной диагональю, проходящей через центр $O$.

В правильном шестиугольнике главные диагонали $AD$ и $BF$ перпендикулярны.
Используя те же координаты, что и выше:
$A = (s, 0, 0)$, $D = (-s, 0, 0)$. Прямая $AD$ лежит на оси $x$ в плоскости $z=0$.
$B = (s/2, s\sqrt{3}/2, 0)$, $F = (s/2, -s\sqrt{3}/2, 0)$. Прямая $BF$ является вертикальной линией $x=s/2$ в плоскости $z=0$.
Очевидно, что горизонтальная линия (ось $x$) и вертикальная линия ($x=s/2$) перпендикулярны в декартовой системе координат. Таким образом, $AD \perp BF$.

Теперь вернемся к плоскостям.
1. Боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Так как прямая $AD$ лежит в плоскости $ABC$, то $BB_1 \perp AD$.
2. Прямая $BF$ лежит в плоскости основания $ABC$. Мы доказали, что $AD \perp BF$.

Таким образом, прямая $AD$ (лежащая в плоскости $ADD_1$) перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BF$ и $BB_1$), лежащим в плоскости $BFF_1$. Из этого следует, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BFF_1$.

Поскольку прямая $AD$ лежит в плоскости $ADD_1$ и перпендикулярна плоскости $BFF_1$, то плоскости $ADD_1$ и $BFF_1$ перпендикулярны.

Ответ: Доказано.