Номер 17.13, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.13. У правильной шестиугольной пирамиды стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 17.14). Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием пирамиды.

Рис. 17.14

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Перевод в СИ:

$a = 1$ (единица длины)

$l = 2$ (единицы длины)

Найти:

Тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием пирамиды $ \tan \alpha $.

Решение:

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида с вершиной $S$ и центром основания $O$. Основание пирамиды - правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Двугранный угол между боковой гранью (например, $SBC$) и основанием пирамиды измеряется как угол между высотой боковой грани, опущенной на сторону основания, и высотой основания, проведенной к той же стороне из центра.

1. Проведем апофему $SM$ боковой грани $SBC$ к середине стороны $BC$. $M$ - середина $BC$. $SM \perp BC$.

2. Проведем отрезок $OM$ из центра основания $O$ к середине стороны $BC$. $OM \perp BC$.

3. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому $SO \perp OM$.

4. Угол между боковой гранью $SBC$ и основанием $ABCDEF$ - это угол $\angle SMO$. Нам нужно найти $ \tan(\angle SMO) $.

5. Найдем длину $OM$. $OM$ - это апофема правильного шестиугольника, которая является высотой равностороннего треугольника со стороной $a$. Сторона основания $a = 1$.

$OM = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Найдем высоту пирамиды $SO$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне шестиугольника. То есть $OB = a = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$. По теореме Пифагора:

$SO^2 + OB^2 = SB^2$

$SO^2 + 1^2 = 2^2$

$SO^2 + 1 = 4$

$SO^2 = 3$

$SO = \sqrt{3}$.

7. Теперь найдем тангенс угла $\angle SMO$ в прямоугольном треугольнике $SOM$:

$ \tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} $

$ \tan(\angle SMO) = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

$ \tan(\angle SMO) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} $

$ \tan(\angle SMO) = 2 $

Ответ: $2$