Номер 17.20, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.20. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскости $ABC_1$ и $BDA_1$ перпендикулярны.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Доказать, что плоскости $ABC_1$ и $BDA_1$ перпендикулярны.

Решение:

Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей достаточно показать, что их нормальные векторы перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Координаты вершин куба:

$D = (0,0,0)$

$A = (a,0,0)$

$B = (a,a,0)$

$C = (0,a,0)$

$D_1 = (0,0,a)$

$A_1 = (a,0,a)$

$B_1 = (a,a,a)$

$C_1 = (0,a,a)$

Найдем нормальный вектор для плоскости $ABC_1$:

Точки, принадлежащие плоскости $ABC_1$: $A(a,0,0)$, $B(a,a,0)$, $C_1(0,a,a)$.

Вычислим два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AB} = B - A = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ABC_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix}$

$\vec{n_1} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a))$

$\vec{n_1} = (a^2, 0, a^2)$

Упростим нормальный вектор, разделив на $a^2$ (поскольку $a \neq 0$):

$\vec{n_1} = (1, 0, 1)$

Найдем нормальный вектор для плоскости $BDA_1$:

Точки, принадлежащие плоскости $BDA_1$: $B(a,a,0)$, $D(0,0,0)$, $A_1(a,0,a)$.

Вычислим два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{DB} = B - D = (a-0, a-0, 0-0) = (a, a, 0)$

$\vec{DA_1} = A_1 - D = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BDA_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DA_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix}$

$\vec{n_2} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - a \cdot a)$

$\vec{n_2} = (a^2, -a^2, -a^2)$

Упростим нормальный вектор, разделив на $a^2$:

$\vec{n_2} = (1, -1, -1)$

Проверим перпендикулярность плоскостей:

Плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю.

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1, 0, 1) \cdot (1, -1, -1)$

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1)$

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 + 0 - 1 = 0$

Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ перпендикулярны. Следовательно, плоскости $ABC_1$ и $BDA_1$ перпендикулярны.

Ответ: Доказано.