Номер 18.1, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.1. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $B$, $D_1$ и середину ребра $CC_1$ (рис. 18.11). Определите его вид.

Рис. 18.11

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Секущая плоскость проходит через вершины $B$, $D_1$ и середину ребра $CC_1$.

Найти:

1. Построить сечение куба указанной плоскостью. 2. Определить вид полученного сечения.

Решение:

Построение сечения:

Пусть $M$ — середина ребра $CC_1$. Точки, через которые проходит секущая плоскость, это $B$, $D_1$ и $M$.

1. Соединим точки $B$ и $M$, так как они лежат в одной грани куба $BCC_1B_1$. Отрезок $BM$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. По свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с гранью $ADD_1A_1$ должна проходить через точку $D_1$ и быть параллельной отрезку $BM$. Пусть эта линия пересекает ребро $AA_1$ в точке $N$. Из свойств параллельных линий и пропорциональных отрезков (например, рассмотрев проекции на соответствующую плоскость или используя координаты), точка $N$ будет серединой ребра $AA_1$.

3. Соединим точки $D_1$ и $N$. Отрезок $D_1N$ является второй стороной сечения. Заметим, что $BM \parallel D_1N$.

4. Соединим точки $M$ и $D_1$. Эти точки лежат в грани $CDD_1C_1$ (точка $M$ лежит на ребре $CC_1$, а точка $D_1$ — вершина этой грани). Отрезок $MD_1$ является третьей стороной сечения.

5. Соединим точки $N$ и $B$. Эти точки лежат в грани $ABB_1A_1$ (точка $N$ лежит на ребре $AA_1$, а точка $B$ — вершина этой грани). Отрезок $NB$ является четвертой стороной сечения.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $BMD_1N$.

Ответ:

Построение сечения описано выше.

Определение вида сечения:

1.Параллельность сторон:
Мы уже установили, что $BM \parallel D_1N$, так как эти отрезки являются линиями пересечения секущей плоскости с параллельными гранями куба.
Рассмотрим отрезки $MD_1$ и $NB$. Пусть длина ребра куба равна $a$.
Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда вершины куба имеют координаты:
$A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$
$A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$
Точка $M$ (середина $CC_1$) имеет координаты $M(a,a,a/2)$.
Точка $N$ (середина $AA_1$) имеет координаты $N(0,0,a/2)$.
Вектор $\vec{MD_1} = (0-a, a-a, a-a/2) = (-a, 0, a/2)$.
Вектор $\vec{NB} = (a-0, 0-0, 0-a/2) = (a, 0, -a/2)$.
Так как $\vec{MD_1} = -1 \cdot \vec{NB}$, векторы $MD_1$ и $NB$ коллинеарны, а значит, отрезки $MD_1$ и $NB$ параллельны ($MD_1 \parallel NB$).
Поскольку обе пары противоположных сторон четырехугольника $BMD_1N$ параллельны, он является параллелограммом.

2.Длины сторон:
Вычислим длины сторон параллелограмма, используя формулу расстояния между точками:
$BM = \sqrt{(a-a)^2 + (a-0)^2 + (a/2-0)^2} = \sqrt{0^2 + a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
$D_1N = \sqrt{(0-0)^2 + (a-0)^2 + (a-a/2)^2} = \sqrt{0^2 + a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
$MD_1 = \sqrt{(a-0)^2 + (a-a)^2 + (a/2-a)^2} = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a/2)^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
$NB = \sqrt{(a-0)^2 + (0-0)^2 + (0-a/2)^2} = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a/2)^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Все стороны параллелограмма равны между собой. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

3.Проверка на квадрат:
Для того чтобы ромб был квадратом, его диагонали должны быть равны, или его смежные стороны должны быть перпендикулярны.
Длины диагоналей ромба $BMD_1N$:
Диагональ $MN = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a/2-a/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Диагональ $BD_1$ является пространственной диагональю куба, соединяющей противоположные вершины $B(a,0,0)$ и $D_1(0,a,a)$.
$BD_1 = \sqrt{(a-0)^2 + (0-a)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
Так как $MN \neq BD_1$ ($a\sqrt{2} \neq a\sqrt{3}$), данный ромб не является квадратом.

Ответ:

Вид сечения: ромб.