Номер 18.8, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.8. Постройте сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AA_1, BC$ и $A_1C_1$ (рис. 18.15).

Рис. 18.15

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Плоскость проходит через точки $D$, $E$, $F$, являющиеся серединами ребер $AA_1$, $BC$ и $A_1C_1$ соответственно.

Найти:

Построить сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $D$, $E$, $F$.

Решение:

Обозначим данные точки:

• $D$ — середина ребра $AA_1$.

• $E$ — середина ребра $BC$.

• $F$ — середина ребра $A_1C_1$.

Построение сечения осуществляется по следующему алгоритму:

1. Точки $D$ и $F$ лежат в одной грани $AA_1C_1C$. Соединим их отрезком $DF$. Отрезок $DF$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Для нахождения следа секущей плоскости на нижнем основании $ABC$, проведем вспомогательную линию. Продлим отрезок $DF$ до пересечения с прямой $AC$ в точке $K$. Точка $K$ лежит в плоскости $ABC$. Для определения положения точки $K$: в плоскости грани $AA_1C_1C$ (которая является трапецией, так как $AA_1 \parallel CC_1$) точки $D$ и $F$ являются серединами ребер $AA_1$ и $A_1C_1$ соответственно. Если принять $A=(0,0)$, $A_1=(0,H)$, $C=(L,0)$, $C_1=(L,H)$ (где $H$ — высота призмы, $L$ — длина стороны основания), тогда $D=(0,H/2)$, $F=(L/2,H)$. Уравнение прямой, проходящей через $D$ и $F$, можно записать как $y - H/2 = \frac{H - H/2}{L/2 - 0}(x - 0)$, что упрощается до $y - H/2 = \frac{H}{L}x$. Для нахождения точки пересечения с линией $AC$ (ось $x$, где $y=0$), подставим $y=0$: $0 - H/2 = \frac{H}{L}x \implies x = -L/2$. Таким образом, точка $K$ находится на продолжении отрезка $AC$ за точку $A$, причем $AK = AC/2$.

3. Точки $K$ и $E$ лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Соединим их отрезком $KE$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Отрезок $KE$ пересекает ребро $AB$ в точке $P$. Точка $P$ является еще одной вершиной сечения.

   Для определения положения точки $P$: применим теорему Менелая для треугольника $ABC$ и секущей $KPE$. Точки $K$, $P$, $E$ лежат на одной прямой. Тогда справедливо соотношение: $(\frac{AK}{KC}) \cdot (\frac{CE}{EB}) \cdot (\frac{BP}{PA}) = 1$.

   Так как $AK = AC/2$, то $KC = AC + AK = AC + AC/2 = 3AC/2$. Следовательно, $\frac{AK}{KC} = \frac{AC/2}{3AC/2} = \frac{1}{3}$.

   Так как $E$ — середина $BC$, то $CE = EB$, следовательно $\frac{CE}{EB} = 1$.

   Подставляя эти значения в теорему Менелая, получаем $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{BP}{PA} = 1$, откуда $\frac{BP}{PA} = 3$. Это означает, что точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $3:1$, считая от $B$ (или $AP = AB/4$). Отрезок $PE$ является стороной сечения.

4. Точки $D$ и $P$ лежат в одной грани $AA_1B_1B$. Соединим их отрезком $DP$. Отрезок $DP$ является стороной сечения.

5. Плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны. Секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна $PE$. Через точку $F$ (лежащую на $A_1C_1$) проведем прямую, параллельную $PE$. Эта прямая пересечет ребро $A_1B_1$ в точке $Q$. Точка $Q$ является еще одной вершиной сечения.

   Поскольку $QF \parallel PE$, и учитывая, что $F$ — середина $A_1C_1$, а также то, что призма правильная, то точка $Q$ должна делить ребро $A_1B_1$ в том же отношении, что и $P$ делит $AB$. То есть $A_1Q = A_1B_1/4$. Отрезок $QF$ является стороной сечения.

6. Остается соединить точки $E$ и $Q$. Отрезок $EQ$ является последней стороной сечения.

Ответ:

Искомое сечение является пятиугольником $DPEQF$.