Страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.6. Постройте сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $B_1C_1$ (рис. 18.13). Определите вид сечения.

Рис. 18.13

Постройте сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $B_1C_1$.

Обозначим середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $B_1C_1$ соответственно как точки M, N и K.

1. Соединим точки M и N. Эти точки лежат в одной грани $ABB_1A_1$, поэтому отрезок MN является частью сечения.

2. Соединим точки N и K. Эти точки лежат в одной грани $BB_1C_1C$, поэтому отрезок NK является частью сечения.

3. Чтобы найти остальные точки сечения, воспользуемся свойством секущих плоскостей. Поскольку точки M и N являются серединами параллельных ребер $AA_1$ и $BB_1$ соответственно, отрезок MN параллелен ребрам основания $AB$ и $A_1B_1$.

4. Плоскость сечения (MNK) пересекает плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$ по прямой. Точка K лежит на этой прямой. Так как $MN \parallel A_1B_1$, и $MN$ лежит в секущей плоскости, то линия пересечения секущей плоскости с плоскостью $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна $A_1B_1$.

5. Проведем через точку K (середину $B_1C_1$) прямую, параллельную $A_1B_1$, в плоскости $A_1B_1C_1$. Эта прямая является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$, поскольку она проходит через середину стороны $B_1C_1$ и параллельна $A_1B_1$. Следовательно, она пересечет ребро $A_1C_1$ в его середине. Обозначим эту точку L.

6. Соединим точки K и L. Отрезок KL является частью сечения и лежит в верхнем основании $A_1B_1C_1$.

7. Соединим точки L и M. Эти точки лежат в одной грани $ACC_1A_1$, поэтому отрезок LM является частью сечения.

Таким образом, сечение призмы представляет собой четырехугольник MNKL.

Ответ: Построено сечение MNKL.

Определите вид сечения.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Плоскость сечения проходит через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $B_1C_1$.

Пусть длина стороны основания призмы равна $a$, а высота призмы $h$.

Найти:

Вид построенного сечения.

Решение:

Обозначим середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $B_1C_1$ соответственно как точки M, N и K. В ходе построения сечения мы установили, что оно является четырехугольником MNKL, где L - середина ребра $A_1C_1$.

Определим длины сторон этого четырехугольника:

1. Длина стороны $MN$:

Точки M и N являются серединами параллельных ребер $AA_1$ и $BB_1$ соответственно. Следовательно, отрезок MN параллелен отрезку $AB$ и равен ему по длине (как отрезок, соединяющий середины боковых сторон прямоугольника $ABB_1A_1$).

$MN = AB = a$

2. Длина стороны $KL$:

Точки K и L являются серединами ребер $B_1C_1$ и $A_1C_1$ соответственно в верхнем основании $A_1B_1C_1$. Следовательно, отрезок $KL$ является средней линией равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$.

$KL = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{a}{2}$

3. Длина стороны $NK$:

Отрезок NK соединяет середину ребра $BB_1$ (точку N) с серединой ребра $B_1C_1$ (точкой K). Рассмотрим прямоугольный треугольник $NB_1K$, образованный катетами $NB_1$ и $B_1K$. Катеты этого треугольника равны $NB_1 = \frac{1}{2} BB_1 = \frac{h}{2}$ и $B_1K = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора, длина $NK$ равна:

$NK = \sqrt{NB_1^2 + B_1K^2} = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{h^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{h^2+a^2}$

4. Длина стороны $LM$:

Отрезок LM соединяет середину ребра $A_1C_1$ (точку L) с серединой ребра $AA_1$ (точкой M). Рассмотрим прямоугольный треугольник $LA_1M$, образованный катетами $LA_1$ и $A_1M$. Катеты этого треугольника равны $LA_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{a}{2}$ и $A_1M = \frac{1}{2} AA_1 = \frac{h}{2}$.

По теореме Пифагора, длина $LM$ равна:

$LM = \sqrt{LA_1^2 + A_1M^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+h^2}$

Сравнивая длины сторон, получаем:

• $MN = a$
• $KL = \frac{a}{2}$
• $NK = LM = \frac{1}{2}\sqrt{h^2+a^2}$

Мы видим, что длины сторон $MN$ и $KL$ не равны ($a \ne \frac{a}{2}$).

Мы установили в ходе построения, что $MN \parallel A_1B_1$ и $KL \parallel A_1B_1$. Следовательно, $MN \parallel KL$.

Также мы видим, что непараллельные стороны $NK$ и $LM$ равны по длине.

Четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна, а другая пара сторон (непараллельные) равна по длине, называется равнобедренной трапецией.

Ответ: Сечение является равнобедренной трапецией.

18.7. Постройте сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $B$ и $D_1$ (рис. 18.14). Определите вид сечения.

Рис. 18.14

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $B$ и $D_1$.

Найти:

Построить сечение.

Определить вид сечения.

Решение:

Построение сечения

1. Соединим вершины $A$ и $B$. Отрезок $AB$ является частью искомого сечения, так как обе точки лежат в нижнем основании призмы $ABCDEF$.

2. Поскольку нижнее основание $ABCDEF$ и верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны, то линии пересечения плоскости сечения с этими основаниями также должны быть параллельны.

3. В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна стороне $ED$. Следовательно, в верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ отрезок, параллельный $AB$, будет $E_1D_1$. Так как точка $D_1$ принадлежит плоскости сечения, а отрезок $E_1D_1$ проходит через $D_1$ и параллелен $AB$, то $E_1D_1$ является частью сечения.

4. Соединим оставшиеся вершины, принадлежащие сечению: $A$ с $E_1$ и $B$ с $D_1$. Эти отрезки являются линиями пересечения плоскости сечения с соответствующими боковыми гранями призмы.

5. Таким образом, искомое сечение представляет собой четырехугольник $ABE_1D_1$.

Ответ:

Определение вида сечения

1. Сечение $ABE_1D_1$ имеет две стороны, $AB$ и $E_1D_1$, которые лежат на параллельных основаниях. В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна стороне $ED$. Поскольку $ED$ является ребром нижнего основания, а $E_1D_1$ - соответствующим ребром верхнего основания, то $AB \parallel E_1D_1$. Также, как стороны правильных шестиугольников, $AB = E_1D_1$.

2. Поскольку две противоположные стороны четырехугольника $ABE_1D_1$ (а именно $AB$ и $E_1D_1$) параллельны и равны по длине, четырехугольник $ABE_1D_1$ является параллелограммом.

3. Для определения более точного вида параллелограмма, проверим, являются ли его смежные стороны перпендикулярными. Для этого рассмотрим скалярное произведение векторов, представляющих смежные стороны, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$.

Пусть сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а высота призмы $h$. Введем систему координат, расположив центр нижнего основания в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты вершин:Вершина $A = (a, 0, 0)$Вершина $B = (a \cdot \cos(60^\circ), a \cdot \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$Вершина $D_1 = (-a, 0, h)$ (поскольку $D$ находится напротив $A$ в основании, $D=(-a,0,0)$)Вершина $E_1 = (a \cdot \cos(240^\circ), a \cdot \sin(240^\circ), h) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, h)$

Вектор $\vec{AB} = B - A = (a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.Вектор $\vec{AE_1} = E_1 - A = (-a/2 - a, -a\sqrt{3}/2 - 0, h - 0) = (-3a/2, -a\sqrt{3}/2, h)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$:$\vec{AB} \cdot \vec{AE_1} = (-a/2) \cdot (-3a/2) + (a\sqrt{3}/2) \cdot (-a\sqrt{3}/2) + (0) \cdot h$$= \frac{3a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} + 0 = 0$.

4. Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$ равно нулю, это означает, что отрезки $AB$ и $AE_1$ перпендикулярны. Следовательно, углы параллелограмма $ABE_1D_1$ прямые.

5. Таким образом, сечение $ABE_1D_1$ является прямоугольником.

Ответ:

18.8. Постройте сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AA_1, BC$ и $A_1C_1$ (рис. 18.15).

Рис. 18.15

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Плоскость проходит через точки $D$, $E$, $F$, являющиеся серединами ребер $AA_1$, $BC$ и $A_1C_1$ соответственно.

Найти:

Построить сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $D$, $E$, $F$.

Решение:

Обозначим данные точки:

• $D$ — середина ребра $AA_1$.

• $E$ — середина ребра $BC$.

• $F$ — середина ребра $A_1C_1$.

Построение сечения осуществляется по следующему алгоритму:

1. Точки $D$ и $F$ лежат в одной грани $AA_1C_1C$. Соединим их отрезком $DF$. Отрезок $DF$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Для нахождения следа секущей плоскости на нижнем основании $ABC$, проведем вспомогательную линию. Продлим отрезок $DF$ до пересечения с прямой $AC$ в точке $K$. Точка $K$ лежит в плоскости $ABC$. Для определения положения точки $K$: в плоскости грани $AA_1C_1C$ (которая является трапецией, так как $AA_1 \parallel CC_1$) точки $D$ и $F$ являются серединами ребер $AA_1$ и $A_1C_1$ соответственно. Если принять $A=(0,0)$, $A_1=(0,H)$, $C=(L,0)$, $C_1=(L,H)$ (где $H$ — высота призмы, $L$ — длина стороны основания), тогда $D=(0,H/2)$, $F=(L/2,H)$. Уравнение прямой, проходящей через $D$ и $F$, можно записать как $y - H/2 = \frac{H - H/2}{L/2 - 0}(x - 0)$, что упрощается до $y - H/2 = \frac{H}{L}x$. Для нахождения точки пересечения с линией $AC$ (ось $x$, где $y=0$), подставим $y=0$: $0 - H/2 = \frac{H}{L}x \implies x = -L/2$. Таким образом, точка $K$ находится на продолжении отрезка $AC$ за точку $A$, причем $AK = AC/2$.

3. Точки $K$ и $E$ лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Соединим их отрезком $KE$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Отрезок $KE$ пересекает ребро $AB$ в точке $P$. Точка $P$ является еще одной вершиной сечения.

   Для определения положения точки $P$: применим теорему Менелая для треугольника $ABC$ и секущей $KPE$. Точки $K$, $P$, $E$ лежат на одной прямой. Тогда справедливо соотношение: $(\frac{AK}{KC}) \cdot (\frac{CE}{EB}) \cdot (\frac{BP}{PA}) = 1$.

   Так как $AK = AC/2$, то $KC = AC + AK = AC + AC/2 = 3AC/2$. Следовательно, $\frac{AK}{KC} = \frac{AC/2}{3AC/2} = \frac{1}{3}$.

   Так как $E$ — середина $BC$, то $CE = EB$, следовательно $\frac{CE}{EB} = 1$.

   Подставляя эти значения в теорему Менелая, получаем $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{BP}{PA} = 1$, откуда $\frac{BP}{PA} = 3$. Это означает, что точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $3:1$, считая от $B$ (или $AP = AB/4$). Отрезок $PE$ является стороной сечения.

4. Точки $D$ и $P$ лежат в одной грани $AA_1B_1B$. Соединим их отрезком $DP$. Отрезок $DP$ является стороной сечения.

5. Плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны. Секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна $PE$. Через точку $F$ (лежащую на $A_1C_1$) проведем прямую, параллельную $PE$. Эта прямая пересечет ребро $A_1B_1$ в точке $Q$. Точка $Q$ является еще одной вершиной сечения.

   Поскольку $QF \parallel PE$, и учитывая, что $F$ — середина $A_1C_1$, а также то, что призма правильная, то точка $Q$ должна делить ребро $A_1B_1$ в том же отношении, что и $P$ делит $AB$. То есть $A_1Q = A_1B_1/4$. Отрезок $QF$ является стороной сечения.

6. Остается соединить точки $E$ и $Q$. Отрезок $EQ$ является последней стороной сечения.

Ответ:

Искомое сечение является пятиугольником $DPEQF$.

18.9. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три точки $E$, $F$, $G$, расположенные так, как показано на рисунке $18.16$.

Рис. $18.16$

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через три заданные точки $E$, $F$, $G$, воспользуемся методом следов и свойством параллельности граней куба.

Дано:

Куб с вершинами $A, B, C, D$ в основании и $A_1, B_1, C_1, D_1$ в верхней грани.

Точки $E$, $F$, $G$ расположены на рёбрах куба: $E \in AB$, $F \in CC_1$, $G \in A_1D_1$, как показано на рисунке 18.16.

Найти:

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки $E, F, G$.

Решение:

Построение сечения будет заключаться в нахождении точек пересечения секущей плоскости с рёбрами куба, а затем соединении этих точек на соответствующих гранях.

1. Нахождение следа секущей плоскости на нижней грани $ABCD$.

   Точка $E$ лежит на ребре $AB$, которое находится в плоскости нижней грани $ABCD$, следовательно, $E$ является одной из точек сечения на этой грани.

   Для нахождения второй точки на плоскости $ABCD$ определим точку пересечения прямой $FG$ с этой плоскостью. Прямая $FG$ проходит через точку $F$ на ребре $CC_1$ и точку $G$ на ребре $A_1D_1$.

   Рассмотрим диагональную плоскость $A_1D_1C_1C$. Эта плоскость содержит прямую $A_1D_1$ (и, следовательно, точку $G$) и прямую $CC_1$ (и, следовательно, точку $F$). Таким образом, прямая $FG$ лежит в плоскости $A_1D_1C_1C$.

   Плоскость $A_1D_1C_1C$ пересекает плоскость нижней грани $ABCD$ по линии $DC$. Следовательно, прямая $FG$ (продолженная) пересечёт линию $DC$ (продолженную) в некоторой точке $K$. Точка $K$ является второй точкой следа секущей плоскости на плоскости $ABCD$.

   Соединим точки $E$ и $K$. Прямая $EK$ является следом секущей плоскости на плоскости $ABCD$. Эта прямая $EK$ пересечёт ребро $BC$ в точке $P$. Таким образом, отрезок $EP$ является первой стороной сечения на грани $ABCD$.

2. Построение стороны сечения на правой грани $BCC_1B_1$.

   Точки $P$ (найденная на $BC$) и $F$ (данная на $CC_1$) лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$. Соединим их. Отрезок $PF$ является второй стороной сечения.

3. Построение стороны сечения на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

   Нижняя грань $ABCD$ параллельна верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, линии пересечения секущей плоскости с этими гранями должны быть параллельны. Мы уже нашли след $EK$ на нижней грани. Значит, след на верхней грани должен быть параллелен $EK$ и проходить через точку $G$ (которая лежит на ребре $A_1D_1$ верхней грани).

   Через точку $G$ проведём прямую, параллельную $EK$. Эта прямая пересечёт ребро $A_1B_1$ в точке $Q$. Таким образом, отрезок $GQ$ является третьей стороной сечения.

4. Построение стороны сечения на левой грани $ADD_1A_1$.

   Правая грань $BCC_1B_1$ параллельна левой грани $ADD_1A_1$. Мы уже нашли сторону $PF$ на правой грани. Следовательно, сторона сечения на левой грани должна быть параллельна $PF$ и проходить через точку $G$ (которая лежит на ребре $A_1D_1$ левой грани).

   Через точку $G$ проведём прямую, параллельную $PF$. Эта прямая пересечёт ребро $DD_1$ в точке $R$. Таким образом, отрезок $GR$ является четвёртой стороной сечения.

5. Построение стороны сечения на задней грани $CDD_1C_1$.

   Точки $F$ (на $CC_1$) и $R$ (найденная на $DD_1$) лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Соединим их. Отрезок $FR$ является пятой стороной сечения.

6. Построение стороны сечения на передней грани $ABB_1A_1$.

   Точки $Q$ (найденная на $A_1B_1$) и $E$ (данная на $AB$) лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их. Отрезок $QE$ является шестой, завершающей стороной сечения.

Таким образом, построенное сечение представляет собой шестиугольник $EPFRGQ$.

Ответ: Сечение куба, проходящее через точки $E$, $F$, $G$, представляет собой шестиугольник $EPFRGQ$, где $P$ — точка на ребре $BC$, $R$ — точка на ребре $DD_1$, $Q$ — точка на ребре $A_1B_1$, найденные в ходе построения.

18.10. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через вершину $A$ и середины $E$ и $F$ ребер $SB$ и $SD$ соответственно (рис. 18.17).

Рис. 18.17

Дано: Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Точка $S$ — вершина пирамиды, $ABCD$ — квадрат в основании. Точки $E$ и $F$ — середины ребер $SB$ и $SD$ соответственно. Плоскость сечения проходит через вершину $A$ и точки $E$ и $F$.

Найти: Построить сечение пирамиды данной плоскостью.

Решение:

Для построения сечения пирамиды плоскостью, заданной тремя точками $A, E, F$, необходимо найти все точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды и соединить их последовательно.

1. Соединение заданных точек:
Точки $A$ и $E$ лежат в одной грани $SAB$. Соединим их отрезком $AE$.
Точки $A$ и $F$ лежат в одной грани $SAD$. Соединим их отрезком $AF$.
Точки $E$ и $F$ лежат в одной грани $SBD$. Соединим их отрезком $EF$.

2. Определение свойств отрезка $EF$:
Так как $E$ — середина ребра $SB$, а $F$ — середина ребра $SD$, то отрезок $EF$ является средней линией треугольника $SBD$.
Следовательно, $EF \parallel BD$.

3. Нахождение четвертой точки сечения на ребре $SC$:
Плоскость сечения $AEF$ содержит отрезок $EF$, который параллелен диагонали $BD$ основания.
Построим диагонали основания $AC$ и $BD$. Пусть $O$ — точка их пересечения (центр основания).
Проведем высоту пирамиды $SO$.
Так как $EF \parallel BD$, а $O$ является серединой $BD$, то отрезок $EF$ пересечет $SO$ в ее середине. Обозначим эту точку $M$.
Таким образом, точка $M$ является серединой $SO$.
Рассмотрим диагональную плоскость $SAC$. В этой плоскости лежат точки $A, S, O, C$.
Точки $A$ и $M$ принадлежат плоскости сечения $AEF$ и лежат в плоскости $SAC$. Следовательно, линия $AM$ является линией пересечения плоскости $AEF$ и плоскости $SAC$.
Проведем прямую $AM$. Эта прямая пересечет ребро $SC$ в некоторой точке $P$. Точка $P$ является четвертой вершиной искомого сечения.
Для определения точного положения точки $P$ на ребре $SC$:
В плоскости $\triangle SAC$ точка $O$ является серединой $AC$, а точка $M$ является серединой $SO$.
Рассмотрим $\triangle SOC$. Прямая $AM$ пересекает $SC$ в точке $P$.
Из подобия треугольников или векторным методом можно показать, что точка $P$ делит ребро $SC$ в отношении $1:2$, считая от вершины $S$, то есть $SP : PC = 1:2$.
Для построения точки $P$: разделите отрезок $SC$ на три равные части. Точка $P$ будет первой точкой деления от вершины $S$.

4. Соединение всех точек сечения:
Соединим последовательно найденные точки $A, E, P, F$.
Отрезок $AE$ лежит в грани $SAB$.
Отрезок $EP$ лежит в грани $SBC$.
Отрезок $PF$ лежит в грани $SCD$.
Отрезок $FA$ лежит в грани $SAD$.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $AEPF$.