Страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что два ненулевых вектора в пространстве коллинеарны, если при откладывании их от одной точки они располагаются на одной прямой.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.2) укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору $\vec{AA_1}$.

Рис. 20.2

Докажите, что два ненулевых вектора в пространстве коллинеарны, если при откладывании их от одной точки они располагаются на одной прямой.

Дано: два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены от одной точки $O$. Они располагаются на одной прямой $L$.

Найти: доказать, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Решение: По определению, два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены от общей точки $O$ и лежат на одной прямой $L$. Это означает, что оба вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ направлены вдоль одной и той же прямой $L$. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ параллельны прямой $L$, а значит, они параллельны друг другу. По определению коллинеарных векторов, если два вектора параллельны, то они коллинеарны. Таким образом, если два ненулевых вектора при откладывании их от одной точки располагаются на одной прямой, то они коллинеарны. Это также следует из того, что если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат на одной прямой и оба ненулевые, то один из них может быть выражен через другой как $\vec{b} = k\vec{a}$, где $k$ — ненулевой скаляр. Это является одним из эквивалентных определений коллинеарности.

Ответ: два ненулевых вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если они отложены от одной точки и располагаются на одной прямой, то они лежат на одной прямой, следовательно, по определению, они коллинеарны.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.2) укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору $\vec{AA_1}$.

Дано: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, вектор $\vec{AA_1}$.

Найти: векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору $\vec{AA_1}$.

Решение: Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Вектор $\vec{AA_1}$ соединяет вершину $A$ с вершиной $A_1$. Его длина равна длине ребра куба, и он направлен перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, "вверх" от $A$ к $A_1$. В кубе все рёбра имеют одинаковую длину. Также, рёбра, соединяющие соответствующие вершины нижнего и верхнего оснований, параллельны друг другу и направлены в одну и ту же сторону. Векторы, которые имеют начало и конец в вершинах куба, имеют ту же длину, что и $\vec{AA_1}$ (т.е., равны длине ребра куба), и имеют то же направление, что и $\vec{AA_1}$ ("вверх", перпендикулярно основанию), это: $\vec{BB_1}$ (начало в $B$, конец в $B_1$, параллелен $AA_1$ и направлен в ту же сторону), $\vec{CC_1}$ (начало в $C$, конец в $C_1$, параллелен $AA_1$ и направлен в ту же сторону), и $\vec{DD_1}$ (начало в $D$, конец в $D_1$, параллелен $AA_1$ и направлен в ту же сторону). Другие векторы, образованные вершинами куба (например, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AC_1}$), либо имеют другое направление, либо другую длину, либо и то, и другое.

Ответ: векторы, равные вектору $\vec{AA_1}$, это $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$, $\vec{DD_1}$.