Страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.7. Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, плоскостью, проходящей через вершины:

а) A, D и S;

б) A, C и S (рис. 19.10).

Рис. 19.10

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Боковые ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

Поскольку заданные величины являются безразмерными числами, мы будем использовать их как есть, подразумевая, что они в какой-либо единице длины (например, метры).

$a = 1 \, \text{м}$

$l = 2 \, \text{м}$

Найти:

а) Площадь сечения, проходящего через вершины $A, D$ и $S$.

б) Площадь сечения, проходящего через вершины $A, C$ и $S$.

Решение

а) A, D и S

Сечение, проходящее через вершины $A, D$ и $S$, представляет собой треугольник $ADS$.

Стороны этого треугольника:

Боковые ребра пирамиды $SA$ и $SD$ равны длине бокового ребра $l = 2$. То есть, $SA = SD = 2$.

Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника, лежащего в основании. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$.

Таким образом, $AD = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2$.

Мы видим, что треугольник $ADS$ имеет стороны $SA=2$, $SD=2$ и $AD=2$. Следовательно, треугольник $ADS$ является равносторонним треугольником со стороной $s = 2$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$.

Подставляем значение $s = 2$:

$S_{ADS} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) A, C и S

Сечение, проходящее через вершины $A, C$ и $S$, представляет собой треугольник $ACS$.

Стороны этого треугольника:

Боковые ребра пирамиды $SA$ и $SC$ равны длине бокового ребра $l = 2$. То есть, $SA = SC = 2$.

Сторона $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника, лежащего в основании. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

Таким образом, $AC = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Треугольник $ACS$ является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами $SA = SC = 2$ и основанием $AC = \sqrt{3}$.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Проведем высоту $SM$ из вершины $S$ к основанию $AC$. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$.

Длина отрезка $AM = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SMA$. По теореме Пифагора:

$SM^2 + AM^2 = SA^2$

$SM^2 = SA^2 - AM^2$

$SM^2 = (2)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$SM^2 = 4 - \frac{3}{4}$

$SM^2 = \frac{16 - 3}{4} = \frac{13}{4}$

$SM = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Теперь найдем площадь треугольника $ACS$:

$S_{ACS} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SM$

$S_{ACS} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2}$

$S_{ACS} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{4}$

19.8. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, плоскостью, проходящей через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Сечение проходит через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1. Обозначим точки, через которые проходит секущая плоскость.

Пусть $K$ — середина ребра $AA_1$, $L$ — середина ребра $BB_1$, $M$ — середина ребра $A_1C_1$.

2. Определим форму сечения.

Отрезок $KL$ соединяет середины параллельных боковых ребер $AA_1$ и $BB_1$. Следовательно, $KL$ параллелен $AB$ и $A_1B_1$, и его длина равна длине ребра основания призмы: $KL = 1$.

Так как $KL$ параллелен $A_1B_1$ (одному из ребер верхнего основания), а точка $M$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$, то линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна $A_1B_1$.

Эта линия проходит через точку $M$, которая является серединой ребра $A_1C_1$. В правильном треугольнике $A_1B_1C_1$ средняя линия, проходящая через середину одной стороны и параллельная другой стороне, соединяет середины двух других сторон. Значит, линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием — это отрезок $MP$, где $P$ — середина ребра $B_1C_1$.

Таким образом, отрезок $MP$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$, параллельной $A_1B_1$. Длина $MP = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Поскольку $KL \parallel A_1B_1$ и $MP \parallel A_1B_1$, то $KL \parallel MP$.

Следовательно, сечением является трапеция $KLPM$ с параллельными основаниями $KL$ и $MP$.

3. Вычислим длины сторон трапеции.

Длины параллельных оснований: $b_1 = KL = 1$, $b_2 = MP = 1/2$.

Для вычисления длин непараллельных сторон $KM$ и $LP$, введем систему координат.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Так как призма правильная и все её ребра равны $1$, координаты вершин будут:

$A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Координаты точек сечения:

$K = (0,0,1/2)$ (середина $AA_1$)

$L = (1,0,1/2)$ (середина $BB_1$)

$M = \left(\frac{0+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1/4, \sqrt{3}/4, 1)$ (середина $A_1C_1$)

$P = \left(\frac{1+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (3/4, \sqrt{3}/4, 1)$ (середина $B_1C_1$)

Длина стороны $KM$: $KM = \sqrt{(1/4-0)^2 + (\sqrt{3}/4-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{(1/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 4/16} = \sqrt{8/16} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина стороны $LP$: $LP = \sqrt{(3/4-1)^2 + (\sqrt{3}/4-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{(-1/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 4/16} = \sqrt{8/16} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $KM = LP$, трапеция $KLPM$ является равнобедренной.

4. Вычислим высоту трапеции.

Высота равнобедренной трапеции — это расстояние между ее параллельными основаниями, измеренное перпендикулярно им. Найдем середины оснований $KL$ и $MP$.

Середина $KL$: $Q_1 = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1/2+1/2}{2}\right) = (1/2, 0, 1/2)$.

Середина $MP$: $Q_2 = \left(\frac{1/4+3/4}{2}, \frac{\sqrt{3}/4+\sqrt{3}/4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1/2, \sqrt{3}/4, 1)$.

Отрезок $Q_1Q_2$ соединяет середины параллельных сторон трапеции. Вектор $\vec{KL} = (1,0,0)$ и вектор $\vec{Q_1Q_2} = (1/2-1/2, \sqrt{3}/4-0, 1-1/2) = (0, \sqrt{3}/4, 1/2)$. Их скалярное произведение $\vec{KL} \cdot \vec{Q_1Q_2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot \sqrt{3}/4 + 0 \cdot 1/2 = 0$. Это подтверждает, что $Q_1Q_2$ перпендикулярен $KL$ (и $MP$). Следовательно, длина $Q_1Q_2$ является высотой трапеции $h_{trap}$.

$h_{trap} = |\vec{Q_1Q_2}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{3/16 + 1/4} = \sqrt{3/16 + 4/16} = \sqrt{7/16} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

5. Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h_{trap}$.

$S = \frac{1 + 1/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{7}}{16}$

19.9. Найдите площадь сечения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1D_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость проходит через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1D_1$.

Перевод в СИ: Ребро куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение

1. Введем декартову систему координат. Совместим начало координат с вершиной $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин единичного куба будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

2. Найдем координаты середин указанных ребер:

• Середина ребра $AB$ (обозначим $M_1$): $M_1 = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 0, 0)$.
• Середина ребра $BC$ (обозначим $M_2$): $M_2 = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.
• Середина ребра $A_1D_1$ (обозначим $M_3$): $M_3 = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0, 0.5, 1)$.

3. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M_1$, $M_2$, $M_3$.

Для этого найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{M_1M_2} = (1-0.5, 0.5-0, 0-0) = (0.5, 0.5, 0)$

$\vec{M_1M_3} = (0-0.5, 0.5-0, 1-0) = (-0.5, 0.5, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ -0.5 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.5)) + \mathbf{k}(0.5 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot (-0.5))$

$\vec{n} = (0.5, -0.5, 0.25 + 0.25) = (0.5, -0.5, 0.5)$.

Для удобства можно использовать коллинеарный вектор нормали $\vec{n}' = (1, -1, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=1, B=-1, C=1$ и координаты точки $M_1(0.5, 0, 0)$:

$1 \cdot 0.5 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow 0.5 + D = 0 \Rightarrow D = -0.5$.

Таким образом, уравнение плоскости: $x - y + z - 0.5 = 0$, или $2x - 2y + 2z - 1 = 0$.

4. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $AB$: $y=0, z=0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x=0.5$. Это точка $M_1(0.5, 0, 0)$.
• Ребро $BC$: $x=1, z=0 \Rightarrow 2(1) - 2y - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 2y = 0 \Rightarrow y=0.5$. Это точка $M_2(1, 0.5, 0)$.
• Ребро $CD$: $y=1, z=0 \Rightarrow 2x - 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x=1.5$. Нет пересечения с ребром.
• Ребро $AD$: $x=0, z=0 \Rightarrow -2y - 1 = 0 \Rightarrow y=-0.5$. Нет пересечения с ребром.
• Ребро $A_1B_1$: $y=0, z=1 \Rightarrow 2x + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x=-0.5$. Нет пересечения с ребром.
• Ребро $B_1C_1$: $x=1, z=1 \Rightarrow 2(1) - 2y + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 3 - 2y = 0 \Rightarrow y=1.5$. Нет пересечения с ребром.
• Ребро $C_1D_1$: $y=1, z=1 \Rightarrow 2x - 2(1) + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x=0.5$. Это точка $M_4(0.5, 1, 1)$.
• Ребро $A_1D_1$: $x=0, z=1 \Rightarrow -2y + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 2y = 0 \Rightarrow y=0.5$. Это точка $M_3(0, 0.5, 1)$.
• Ребро $AA_1$: $x=0, y=0 \Rightarrow 2z - 1 = 0 \Rightarrow z=0.5$. Это точка $M_5(0, 0, 0.5)$.
• Ребро $BB_1$: $x=1, y=0 \Rightarrow 2(1) + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 1 + 2z = 0 \Rightarrow z=-0.5$. Нет пересечения с ребром.
• Ребро $CC_1$: $x=1, y=1 \Rightarrow 2(1) - 2(1) + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2z = 1 \Rightarrow z=0.5$. Это точка $M_6(1, 1, 0.5)$.
• Ребро $DD_1$: $x=0, y=1 \Rightarrow -2(1) + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2z = 3 \Rightarrow z=1.5$. Нет пересечения с ребром.

Таким образом, сечением является шестиугольник $M_1M_2M_6M_4M_3M_5$ с координатами вершин:

$M_1(0.5, 0, 0)$

$M_2(1, 0.5, 0)$

$M_6(1, 1, 0.5)$

$M_4(0.5, 1, 1)$

$M_3(0, 0.5, 1)$

$M_5(0, 0, 0.5)$

5. Вычислим длины сторон шестиугольника:

Длина стороны $M_1M_2 = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0.5-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2 + 0^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Можно проверить, что все остальные стороны имеют такую же длину:

$M_2M_6 = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0.5)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$M_6M_4 = \sqrt{(0.5-1)^2 + (1-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$M_4M_3 = \sqrt{(0-0.5)^2 + (0.5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + (-0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$M_3M_5 = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0.5)^2 + (0.5-1)^2} = \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$M_5M_1 = \sqrt{(0.5-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Все стороны шестиугольника равны $l = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Также можно убедиться, что противоположные стороны параллельны (например, $\vec{M_1M_2} = (0.5, 0.5, 0)$ и $\vec{M_4M_3} = (-0.5, -0.5, 0)$, что подтверждает параллельность $M_1M_2 \parallel M_4M_3$). Центр шестиугольника (среднее арифметическое координат всех вершин) равен $(0.5, 0.5, 0.5)$, что совпадает с центром куба. Это означает, что сечение является правильным шестиугольником.

6. Площадь правильного шестиугольника со стороной $l$ вычисляется по формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}l^2$.

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

19.10. Найдите площадь сечения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершину $D_1$ и середины ребер $AB$, $BC$.

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a = 1$.

Плоскость сечения проходит через вершину $D_1$ и середины ребер $AB$ и $BC$.

Пусть $M_1$ - середина ребра $AB$.

Пусть $M_2$ - середина ребра $BC$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (безразмерная величина для "единичного куба").

Установим систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Координаты точек, через которые проходит сечение:

• Вершина $D_1 = (0,1,1)$

• Середина ребра $AB$: $M_1 = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0.5, 0, 0)$

• Середина ребра $BC$: $M_2 = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0.5, 0)$

Найти: Площадь сечения куба.

Решение:

1.Нахождение уравнения плоскости сечения.

Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$. Подставим координаты точек $D_1(0,1,1)$, $M_1(0.5,0,0)$ и $M_2(1,0.5,0)$ в это уравнение.

• Для $M_1(0.5,0,0)$: $A(0.5) + B(0) + C(0) = D \implies 0.5A = D \implies A = 2D$.

• Для $M_2(1,0.5,0)$: $A(1) + B(0.5) + C(0) = D \implies A + 0.5B = D$. Подставим $A=2D$: $2D + 0.5B = D \implies 0.5B = -D \implies B = -2D$.

• Для $D_1(0,1,1)$: $A(0) + B(1) + C(1) = D \implies B + C = D$. Подставим $B=-2D$: $-2D + C = D \implies C = 3D$.

Таким образом, уравнение плоскости: $2Dx - 2Dy + 3Dz = D$. Предполагая $D \ne 0$ (так как иначе $A=B=C=0$, что невозможно для плоскости), мы можем разделить на $D$: $2x - 2y + 3z = 1$.

2.Определение вершин сечения.

Ищем точки пересечения плоскости $2x - 2y + 3z = 1$ с ребрами куба. Длина ребра куба равна 1, то есть координаты точек должны удовлетворять $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

• С ребром $AB$ ($y=0, z=0$): $2x - 2(0) + 3(0) = 1 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$. Точка $M_1(0.5,0,0)$.

• С ребром $BC$ ($x=1, z=0$): $2(1) - 2y + 3(0) = 1 \implies 2 - 2y = 1 \implies 2y = 1 \implies y = 0.5$. Точка $M_2(1,0.5,0)$.

• С ребром $AA_1$ ($x=0, y=0$): $2(0) - 2(0) + 3z = 1 \implies 3z = 1 \implies z = 1/3$. Точка $P_1(0,0,1/3)$.

• С ребром $CC_1$ ($x=1, y=1$): $2(1) - 2(1) + 3z = 1 \implies 0 + 3z = 1 \implies 3z = 1 \implies z = 1/3$. Точка $P_3(1,1,1/3)$.

• С ребром $D_1A_1$ или $C_1D_1$ (через $D_1(0,1,1)$ плоскость проходит изначально).

Другие ребра плоскость не пересекает внутри куба. Таким образом, вершины сечения: $P_1(0,0,1/3)$, $M_1(0.5,0,0)$, $M_2(1,0.5,0)$, $P_3(1,1,1/3)$, $D_1(0,1,1)$. Это пятиугольник $P_1 M_1 M_2 P_3 D_1$.

3.Вычисление площади сечения.

Для вычисления площади сечения воспользуемся методом проекции. Нормальный вектор к плоскости $2x - 2y + 3z = 1$ равен $\vec{n} = (2, -2, 3)$.

Модуль этого вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17}$.

Спроектируем пятиугольник на координатную плоскость $Oxy$ ($z=0$). Координаты спроектированных вершин:

$P_1'(0,0)$, $M_1'(0.5,0)$, $M_2'(1,0.5)$, $P_3'(1,1)$, $D_1'(0,1)$.

Площадь спроектированного пятиугольника $A_{xy}$ можно найти по формуле площади Гаусса (Shoelace formula):

$A_{xy} = \frac{1}{2} |(x_{P_1'}y_{M_1'} - y_{P_1'}x_{M_1'}) + (x_{M_1'}y_{M_2'} - y_{M_1'}x_{M_2'}) + (x_{M_2'}y_{P_3'} - y_{M_2'}x_{P_3'}) + (x_{P_3'}y_{D_1'} - y_{P_3'}x_{D_1'}) + (x_{D_1'}y_{P_1'} - y_{D_1'}x_{P_1'})|$

$A_{xy} = \frac{1}{2} |(0 \cdot 0 - 0 \cdot 0.5) + (0.5 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0)|$

$A_{xy} = \frac{1}{2} |0 + 0.25 + 0.5 + 1 + 0| = \frac{1}{2} |1.75| = \frac{1.75}{2} = 0.875 = \frac{7}{8}$.

Косинус угла $\gamma$ между нормалью к плоскости сечения и осью $Oz$ (нормаль к плоскости $Oxy$) равен:

$\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|}$, где $\vec{k}=(0,0,1)$ - единичный вектор оси $Oz$.

$\cos \gamma = \frac{|(2, -2, 3) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{|3|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Площадь сечения $A$ связана с площадью проекции $A_{xy}$ соотношением $A = \frac{A_{xy}}{|\cos \gamma|}$.

$A = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.

19.11. Найдите площадь сечения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB, BC, DD_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Плоскость проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $DD_1$.

Найти:

Площадь сечения куба данной плоскостью.

Решение:

1. **Выбор системы координат:**

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$. Тогда координаты вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$

$A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1,1,1)$, $D_1 = (0,1,1)$

2. **Нахождение координат середин заданных ребер:**

Пусть $M_1$ — середина ребра $AB$. Ее координаты: $M_1 = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.

Пусть $M_2$ — середина ребра $BC$. Ее координаты: $M_2 = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$.

Пусть $M_3$ — середина ребра $DD_1$. Ее координаты: $M_3 = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(0, 1, \frac{1}{2}\right)$.

3. **Нахождение уравнения секущей плоскости:**

Обозначим уравнение плоскости как $Ax + By + Cz = D$. Подставим координаты точек $M_1, M_2, M_3$ в это уравнение:

Для $M_1\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$: $\frac{1}{2}A = D \implies A = 2D$.

Для $M_2\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$: $1A + \frac{1}{2}B = D$. Подставляем $A=2D$: $2D + \frac{1}{2}B = D \implies \frac{1}{2}B = -D \implies B = -2D$.

Для $M_3\left(0, 1, \frac{1}{2}\right)$: $0A + 1B + \frac{1}{2}C = D$. Подставляем $B=-2D$: $-2D + \frac{1}{2}C = D \implies \frac{1}{2}C = 3D \implies C = 6D$.

Примем $D=1$ (так как $D \ne 0$, можно разделить все коэффициенты на $D$). Тогда уравнение плоскости: $2x - 2y + 6z = 1$.

Нормальный вектор к этой плоскости: $\vec{n} = (2, -2, 6)$.

4. **Нахождение других точек пересечения плоскости с ребрами куба:**

Чтобы полностью определить многоугольник сечения, найдем точки пересечения плоскости $2x - 2y + 6z = 1$ с остальными ребрами куба.

- Пересечение с ребром $AA_1$ (ось $z$, где $x=0, y=0$, $z \in [0,1]$):

$2(0) - 2(0) + 6z = 1 \implies 6z = 1 \implies z = \frac{1}{6}$.

Получаем точку $M_4 = \left(0, 0, \frac{1}{6}\right)$, которая лежит на ребре $AA_1$.

- Пересечение с ребром $CC_1$ (где $x=1, y=1$, $z \in [0,1]$):

$2(1) - 2(1) + 6z = 1 \implies 2 - 2 + 6z = 1 \implies 6z = 1 \implies z = \frac{1}{6}$.

Получаем точку $M_5 = \left(1, 1, \frac{1}{6}\right)$, которая лежит на ребре $CC_1$.

Проверка других ребер показывает, что они не пересекаются с плоскостью внутри своих отрезков.

5. **Определение формы сечения:**

Вершинами многоугольника сечения являются найденные точки:

$M_1 = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$

$M_2 = \left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$

$M_5 = \left(1, 1, \frac{1}{6}\right)$

$M_3 = \left(0, 1, \frac{1}{2}\right)$

$M_4 = \left(0, 0, \frac{1}{6}\right)$

Эти точки образуют пятиугольник $M_1M_2M_5M_3M_4$.

6. **Вычисление площади сечения (метод проекции):**

Площадь пространственного многоугольника можно найти, спроектировав его на одну из координатных плоскостей, вычислив площадь проекции, а затем разделив ее на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Спроектируем пятиугольник на координатную плоскость $xy$ ($z=0$). Проекции вершин:

$M_1' = \left(\frac{1}{2}, 0\right)$

$M_2' = \left(1, \frac{1}{2}\right)$

$M_5' = \left(1, 1\right)$

$M_3' = \left(0, 1\right)$

$M_4' = \left(0, 0\right)$

Площадь проекции $S_{xy}$ вычислим по формуле шнурков (Shoelace formula) для упорядоченных вершин $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$. Возьмем вершины в циклическом порядке $M_4', M_1', M_2', M_5', M_3'$:

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1)|$

$M_4'=(0,0)$, $M_1'=(0.5,0)$, $M_2'=(1,0.5)$, $M_5'=(1,1)$, $M_3'=(0,1)$.

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(0 \cdot 0 + 0.5 \cdot 0.5 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0) - (0 \cdot 0.5 + 0 \cdot 1 + 0.5 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0)|$

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(0 + 0.25 + 1 + 1 + 0) - (0 + 0 + 0.5 + 0 + 0)|$

$S_{xy} = \frac{1}{2} |2.25 - 0.5| = \frac{1}{2} |1.75| = \frac{1.75}{2} = \frac{7}{8}$.

Теперь найдем косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$. Нормальный вектор к плоскости сечения $\vec{n}=(2, -2, 6)$. Нормальный вектор к плоскости $xy$ — это вектор оси $z$, $\vec{k}=(0,0,1)$.

$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$.

$|\vec{k}| = 1$.

$\vec{n} \cdot \vec{k} = (2)(0) + (-2)(0) + (6)(1) = 6$.

$\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|6|}{2\sqrt{11} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{11}}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции $S_{xy}$ формулой: $S = \frac{S_{xy}}{|\cos \gamma|}$.

$S = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{3}{\sqrt{11}}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{7\sqrt{11}}{24}$.

Ответ:

Площадь сечения куба равна $\frac{7\sqrt{11}}{24}$.

19.12. Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны $1$, плоскостью, проходящей через вершины $A, C_1$ и $E_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ (единица измерения длины).

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $C_1$, $E_1$.

Перевод данных в систему СИ:

Единицы измерения длины не указаны, поэтому расчеты проводятся в условных единицах.

Длина стороны основания призмы $a = 1$ у.е.

Высота призмы (боковое ребро) $h = 1$ у.е.

Найти:

Площадь сечения $S_{ACE_1}$ (у.е.$^2$).

Решение:

Сечением правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через вершины $A$, $C_1$ и $E_1$, является треугольник $AC_1E_1$. Для нахождения площади этого треугольника нам необходимо вычислить длины его сторон.

1. Найдем длину стороны $AC_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катет $CC_1$ равен высоте призмы $h = 1$. Катет $AC$ является короткой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $a = 1$. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника равна $a\sqrt{3}$.

Следовательно, $AC = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для треугольника $ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

2. Найдем длину стороны $E_1A$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEE_1$. Катет $EE_1$ равен высоте призмы $h = 1$. Катет $AE$ также является короткой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $a = 1$.

Следовательно, $AE = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для треугольника $AEE_1$:

$AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2$

$AE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AE_1 = \sqrt{4} = 2$.

3. Найдем длину стороны $C_1E_1$. Сторона $C_1E_1$ является короткой диагональю правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (верхнее основание призмы), сторона которого также равна $a = 1$.

Следовательно, $C_1E_1 = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, треугольник $AC_1E_1$ имеет стороны $AC_1 = 2$, $AE_1 = 2$, $C_1E_1 = \sqrt{3}$. Это равнобедренный треугольник.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Пусть основание треугольника $b_{tri} = C_1E_1 = \sqrt{3}$. Высота $h_{tri}$ будет опущена из вершины $A$ на середину $C_1E_1$. Обозначим середину $C_1E_1$ как $M$. Тогда треугольник $AMC_1$ будет прямоугольным с гипотенузой $AC_1 = 2$ и катетом $MC_1 = \frac{C_1E_1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $AMC_1$:

$AM^2 = AC_1^2 - MC_1^2$

$AM^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16 - 3}{4} = \frac{13}{4}$

$h_{tri} = AM = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Площадь треугольника $AC_1E_1$:

$S_{AC_1E_1} = \frac{1}{2} \cdot C_1E_1 \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{39}}{4}$ у.е.$^2$.

проходящей через вершины $H$, $C_1$ и $L_1$.

19.13. Дворец мира и согласия в г. Нур-Султане имеет форму правильной четырехугольной пирамиды (см. рис. 12.14, § 12), в которой высота равна стороне основания и составляет 62 м. Найдите площадь диагонального сечения этой пирамиды.

Дано:

Пирамида имеет форму правильной четырехугольной пирамиды.

Высота пирамиды $H$ равна стороне основания $a$.

$H = a = 62$ м.

Перевод в СИ:

$H = 62$ м

$a = 62$ м

Найти:

Площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ - ?

Решение:

Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды представляет собой треугольник. Основанием этого треугольника является диагональ квадрата, лежащего в основании пирамиды, а высотой - высота самой пирамиды.

Сначала найдем длину диагонали $d$ квадратного основания. Для квадрата со стороной $a$ диагональ вычисляется по формуле:

$d = a\sqrt{2}$

Подставим значение стороны основания $a = 62$ м:

$d = 62\sqrt{2}$ м

Теперь вычислим площадь диагонального сечения $S_{сеч}$. Это площадь треугольника, которая определяется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$

В нашем случае, основанием является диагональ $d$, а высотой - высота пирамиды $H$.

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \times d \times H$

Подставим найденное значение диагонали $d = 62\sqrt{2}$ м и заданную высоту $H = 62$ м:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \times (62\sqrt{2}) \times 62$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \times 62^2 \times \sqrt{2}$

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \times 3844 \times \sqrt{2}$

$S_{сеч} = 1922\sqrt{2}$

Ответ:

Площадь диагонального сечения составляет $1922\sqrt{2}$ м$^2$.

19.14. Повторите определение вектора на плоскости.

19.15. По...

Повторите определение вектора на плоскости.

Вектор на плоскости — это направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указана начальная точка (точка приложения) и конечная точка. Вектор характеризуется двумя основными свойствами: длиной (модулем) и направлением. Длина вектора $\vec{AB}$ обозначается как $|\vec{AB}|$. Направление вектора определяется направлением от начальной точки к конечной. Нулевой вектор — это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают; его длина равна нулю, и он не имеет определённого направления.

Ответ:

19.15. По аналогии с определением вектора на плоскости попробуйте
дать определение вектора в пространстве.

По аналогии с определением вектора на плоскости, который является направленным отрезком, определяемым двумя координатами в декартовой системе координат (например, $(x, y)$), вектор в пространстве также представляет собой направленный отрезок.

В трехмерном пространстве вектор $\vec{a}$ определяется как направленный отрезок, обладающий определенной длиной (модулем) и направлением. Если начало вектора находится в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и конец в точке $B(x_2, y_2, z_2)$, то его компоненты в декартовой системе координат будут $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$. Таким образом, вектор в пространстве может быть представлен упорядоченной тройкой чисел $(x, y, z)$, где $x, y, z$ - это его компоненты по осям координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Модуль (длина) вектора $\vec{a} = (x, y, z)$ в пространстве вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Ответ:

19.16. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора с началом в вершине A и концом в вершине $C_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба: $a = 1$ (единица длины).

Вектор имеет начало в вершине A и конец в вершине C₁.

Найти:

Длину вектора $\vec{AC_1}$.

Решение:

Для решения задачи можно использовать координатный метод или геометрический метод с применением теоремы Пифагора.

1. Координатный метод:

Разместим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина A совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$. Поскольку куб единичный, длина каждого его ребра равна 1.

Ориентируем оси координат вдоль ребер, выходящих из вершины A:

• Ребро AB вдоль оси x. Тогда B имеет координаты $(1, 0, 0)$.
• Ребро AD вдоль оси y. Тогда D имеет координаты $(0, 1, 0)$.
• Ребро AA₁ вдоль оси z. Тогда A₁ имеет координаты $(0, 0, 1)$.

Теперь определим координаты вершины C₁. Вершина C находится в плоскости основания (xy) и является противоположной A по диагонали в квадрате ABCD. Ее координаты: $(1, 1, 0)$.

Вершина C₁ находится над вершиной C на высоте, равной длине ребра (1) вдоль оси z. Следовательно, координаты вершины C₁: $(1, 1, 1)$.

Вектор $\vec{AC_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек:

$\vec{AC_1} = (C_{1x} - A_x, C_{1y} - A_y, C_{1z} - A_z)$

$\vec{AC_1} = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 0) = (1, 1, 1)$.

Длина (модуль) вектора $|\vec{v}|$ с компонентами $(x, y, z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Применяем формулу для вектора $\vec{AC_1}$:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}$

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{1 + 1 + 1}$

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{3}$.

2. Геометрический метод (по теореме Пифагора):

Рассмотрим куб. Вектор $\vec{AC_1}$ является пространственной диагональю куба.

Сначала найдем длину диагонали основания AC. Треугольник ABC является прямоугольным (угол B равен $90^\circ$), так как ABCD - квадрат. Стороны AB и BC равны длине ребра куба $a = 1$.

По теореме Пифагора для треугольника ABC:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AC = \sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACC_1$. Это также прямоугольный треугольник, где угол C равен $90^\circ$, поскольку ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания ABCD, а значит, и диагонали AC, лежащей в этой плоскости.

Катеты этого треугольника - это AC (диагональ основания, которую мы нашли) и $CC_1$ (ребро куба). Гипотенуза - это $AC_1$, длина которой нам нужна.

Длина $CC_1 = a = 1$.

По теореме Пифагора для треугольника $ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2$

$AC_1^2 = 2 + 1$

$AC_1^2 = 3$

$AC_1 = \sqrt{3}$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ:

Длина вектора $\vec{AC_1}$ равна $\sqrt{3}$.