Номер 19.7, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.7. Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, плоскостью, проходящей через вершины:

а) A, D и S;

б) A, C и S (рис. 19.10).

Рис. 19.10

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Боковые ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

Поскольку заданные величины являются безразмерными числами, мы будем использовать их как есть, подразумевая, что они в какой-либо единице длины (например, метры).

$a = 1 \, \text{м}$

$l = 2 \, \text{м}$

Найти:

а) Площадь сечения, проходящего через вершины $A, D$ и $S$.

б) Площадь сечения, проходящего через вершины $A, C$ и $S$.

Решение

а) A, D и S

Сечение, проходящее через вершины $A, D$ и $S$, представляет собой треугольник $ADS$.

Стороны этого треугольника:

Боковые ребра пирамиды $SA$ и $SD$ равны длине бокового ребра $l = 2$. То есть, $SA = SD = 2$.

Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника, лежащего в основании. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$.

Таким образом, $AD = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2$.

Мы видим, что треугольник $ADS$ имеет стороны $SA=2$, $SD=2$ и $AD=2$. Следовательно, треугольник $ADS$ является равносторонним треугольником со стороной $s = 2$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$.

Подставляем значение $s = 2$:

$S_{ADS} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) A, C и S

Сечение, проходящее через вершины $A, C$ и $S$, представляет собой треугольник $ACS$.

Стороны этого треугольника:

Боковые ребра пирамиды $SA$ и $SC$ равны длине бокового ребра $l = 2$. То есть, $SA = SC = 2$.

Сторона $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника, лежащего в основании. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

Таким образом, $AC = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Треугольник $ACS$ является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами $SA = SC = 2$ и основанием $AC = \sqrt{3}$.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Проведем высоту $SM$ из вершины $S$ к основанию $AC$. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$.

Длина отрезка $AM = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SMA$. По теореме Пифагора:

$SM^2 + AM^2 = SA^2$

$SM^2 = SA^2 - AM^2$

$SM^2 = (2)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$SM^2 = 4 - \frac{3}{4}$

$SM^2 = \frac{16 - 3}{4} = \frac{13}{4}$

$SM = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Теперь найдем площадь треугольника $ACS$:

$S_{ACS} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SM$

$S_{ACS} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2}$

$S_{ACS} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{4}$