Номер 19.6, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.6. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, плоскостью, проходящей через вершины $A$, $B$ и середину $D_1$ ребра $A_1 C_1$ (рис. 19.9).

Рис. 19.9

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1.

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $B$ и середину $D_1$ ребра $A_1C_1$.

Перевод в СИ

Длины всех ребер равны 1 условной единице длины.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Сечением является треугольник $ABD_1$. Для нахождения его площади нам нужна длина основания и соответствующая высота. В качестве основания выберем ребро $AB$.

1. Найдем длины сторон треугольника $ABD_1$.

a. Сторона $AB$: Так как $AB$ является ребром основания правильной треугольной призмы, и по условию все ребра равны 1, то $AB = 1$.

b. Сторона $AD_1$: Рассмотрим боковую грань $ACC_1A_1$. Эта грань представляет собой прямоугольник со сторонами $AA_1 = 1$ и $AC = 1$. Точка $D_1$ является серединой ребра $A_1C_1$. Следовательно, длина отрезка $A_1D_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1D_1$ (с прямым углом при вершине $A_1$). По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AD_1$: $AD_1^2 = AA_1^2 + A_1D_1^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. $AD_1 = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

c. Сторона $BD_1$: Опустим перпендикуляр $D_1M$ из точки $D_1$ на плоскость основания $ABC$. Поскольку призма правильная, $D_1M$ будет перпендикулярна плоскости основания и ее длина будет равна высоте призмы, то есть $D_1M = AA_1 = 1$. Точка $M$ является проекцией точки $D_1$ на плоскость основания. Так как $D_1$ - середина ребра $A_1C_1$, то $M$ - середина ребра $AC$. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании. Он является равносторонним треугольником со стороной 1. $BM$ является медианой, проведенной к стороне $AC$, а также высотой в равностороннем треугольнике $ABC$. Длина $MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. В прямоугольном треугольнике $BMC$ (с прямым углом при вершине $M$): $BM^2 = BC^2 - MC^2 = 1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. $BM = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BMD_1$. Он прямоугольный при вершине $M$, так как $D_1M$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, а $BM$ лежит в этой плоскости. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $BD_1$: $BD_1^2 = BM^2 + D_1M^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 1^2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$. $BD_1 = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

2. Найдем площадь треугольника $ABD_1$. Используем формулу площади $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания возьмем $AB$.

Проведем высоту $D_1K$ из вершины $D_1$ к основанию $AB$. $K$ - это точка на прямой $AB$ такая, что $D_1K \perp AB$. Мы знаем, что $D_1M$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, и $D_1M = 1$. $M$ - это середина $AC$. По теореме о трех перпендикулярах, если $D_1K \perp AB$ и $D_1M \perp \text{пл. }ABC$, то $MK \perp AB$. Таким образом, $MK$ является высотой из $M$ на $AB$ в плоскости основания. Расположим основание $ABC$ в координатной плоскости $xy$. Пусть $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Точка $M$ - середина $AC$, поэтому ее координаты $M = \left(\frac{0+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$. Прямая $AB$ совпадает с осью $x$. Расстояние от точки $M(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ до оси $x$ равно ее $y$-координате, то есть $MK = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $D_1MK$. Он прямоугольный при вершине $M$. Длина $D_1M = 1$ (высота призмы). Длина $MK = \frac{\sqrt{3}}{4}$. По теореме Пифагора найдем длину $D_1K$: $D_1K^2 = D_1M^2 + MK^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 + \frac{3}{16} = \frac{19}{16}$. $D_1K = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$.

Площадь треугольника $ABD_1$ вычисляется по формуле:$S_{ABD_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание } AB \cdot \text{высота } D_1K = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{19}}{8}$