Номер 19.10, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.10. Найдите площадь сечения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершину $D_1$ и середины ребер $AB$, $BC$.

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a = 1$.

Плоскость сечения проходит через вершину $D_1$ и середины ребер $AB$ и $BC$.

Пусть $M_1$ - середина ребра $AB$.

Пусть $M_2$ - середина ребра $BC$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (безразмерная величина для "единичного куба").

Установим систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Координаты точек, через которые проходит сечение:

• Вершина $D_1 = (0,1,1)$

• Середина ребра $AB$: $M_1 = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0.5, 0, 0)$

• Середина ребра $BC$: $M_2 = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0.5, 0)$

Найти: Площадь сечения куба.

Решение:

1.Нахождение уравнения плоскости сечения.

Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$. Подставим координаты точек $D_1(0,1,1)$, $M_1(0.5,0,0)$ и $M_2(1,0.5,0)$ в это уравнение.

• Для $M_1(0.5,0,0)$: $A(0.5) + B(0) + C(0) = D \implies 0.5A = D \implies A = 2D$.

• Для $M_2(1,0.5,0)$: $A(1) + B(0.5) + C(0) = D \implies A + 0.5B = D$. Подставим $A=2D$: $2D + 0.5B = D \implies 0.5B = -D \implies B = -2D$.

• Для $D_1(0,1,1)$: $A(0) + B(1) + C(1) = D \implies B + C = D$. Подставим $B=-2D$: $-2D + C = D \implies C = 3D$.

Таким образом, уравнение плоскости: $2Dx - 2Dy + 3Dz = D$. Предполагая $D \ne 0$ (так как иначе $A=B=C=0$, что невозможно для плоскости), мы можем разделить на $D$: $2x - 2y + 3z = 1$.

2.Определение вершин сечения.

Ищем точки пересечения плоскости $2x - 2y + 3z = 1$ с ребрами куба. Длина ребра куба равна 1, то есть координаты точек должны удовлетворять $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

• С ребром $AB$ ($y=0, z=0$): $2x - 2(0) + 3(0) = 1 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$. Точка $M_1(0.5,0,0)$.

• С ребром $BC$ ($x=1, z=0$): $2(1) - 2y + 3(0) = 1 \implies 2 - 2y = 1 \implies 2y = 1 \implies y = 0.5$. Точка $M_2(1,0.5,0)$.

• С ребром $AA_1$ ($x=0, y=0$): $2(0) - 2(0) + 3z = 1 \implies 3z = 1 \implies z = 1/3$. Точка $P_1(0,0,1/3)$.

• С ребром $CC_1$ ($x=1, y=1$): $2(1) - 2(1) + 3z = 1 \implies 0 + 3z = 1 \implies 3z = 1 \implies z = 1/3$. Точка $P_3(1,1,1/3)$.

• С ребром $D_1A_1$ или $C_1D_1$ (через $D_1(0,1,1)$ плоскость проходит изначально).

Другие ребра плоскость не пересекает внутри куба. Таким образом, вершины сечения: $P_1(0,0,1/3)$, $M_1(0.5,0,0)$, $M_2(1,0.5,0)$, $P_3(1,1,1/3)$, $D_1(0,1,1)$. Это пятиугольник $P_1 M_1 M_2 P_3 D_1$.

3.Вычисление площади сечения.

Для вычисления площади сечения воспользуемся методом проекции. Нормальный вектор к плоскости $2x - 2y + 3z = 1$ равен $\vec{n} = (2, -2, 3)$.

Модуль этого вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17}$.

Спроектируем пятиугольник на координатную плоскость $Oxy$ ($z=0$). Координаты спроектированных вершин:

$P_1'(0,0)$, $M_1'(0.5,0)$, $M_2'(1,0.5)$, $P_3'(1,1)$, $D_1'(0,1)$.

Площадь спроектированного пятиугольника $A_{xy}$ можно найти по формуле площади Гаусса (Shoelace formula):

$A_{xy} = \frac{1}{2} |(x_{P_1'}y_{M_1'} - y_{P_1'}x_{M_1'}) + (x_{M_1'}y_{M_2'} - y_{M_1'}x_{M_2'}) + (x_{M_2'}y_{P_3'} - y_{M_2'}x_{P_3'}) + (x_{P_3'}y_{D_1'} - y_{P_3'}x_{D_1'}) + (x_{D_1'}y_{P_1'} - y_{D_1'}x_{P_1'})|$

$A_{xy} = \frac{1}{2} |(0 \cdot 0 - 0 \cdot 0.5) + (0.5 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0)|$

$A_{xy} = \frac{1}{2} |0 + 0.25 + 0.5 + 1 + 0| = \frac{1}{2} |1.75| = \frac{1.75}{2} = 0.875 = \frac{7}{8}$.

Косинус угла $\gamma$ между нормалью к плоскости сечения и осью $Oz$ (нормаль к плоскости $Oxy$) равен:

$\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|}$, где $\vec{k}=(0,0,1)$ - единичный вектор оси $Oz$.

$\cos \gamma = \frac{|(2, -2, 3) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{|3|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Площадь сечения $A$ связана с площадью проекции $A_{xy}$ соотношением $A = \frac{A_{xy}}{|\cos \gamma|}$.

$A = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.