Номер 19.11, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.11. Найдите площадь сечения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB, BC, DD_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Плоскость проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $DD_1$.

Найти:

Площадь сечения куба данной плоскостью.

Решение:

1. **Выбор системы координат:**

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$. Тогда координаты вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$

$A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1,1,1)$, $D_1 = (0,1,1)$

2. **Нахождение координат середин заданных ребер:**

Пусть $M_1$ — середина ребра $AB$. Ее координаты: $M_1 = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.

Пусть $M_2$ — середина ребра $BC$. Ее координаты: $M_2 = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$.

Пусть $M_3$ — середина ребра $DD_1$. Ее координаты: $M_3 = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(0, 1, \frac{1}{2}\right)$.

3. **Нахождение уравнения секущей плоскости:**

Обозначим уравнение плоскости как $Ax + By + Cz = D$. Подставим координаты точек $M_1, M_2, M_3$ в это уравнение:

Для $M_1\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$: $\frac{1}{2}A = D \implies A = 2D$.

Для $M_2\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$: $1A + \frac{1}{2}B = D$. Подставляем $A=2D$: $2D + \frac{1}{2}B = D \implies \frac{1}{2}B = -D \implies B = -2D$.

Для $M_3\left(0, 1, \frac{1}{2}\right)$: $0A + 1B + \frac{1}{2}C = D$. Подставляем $B=-2D$: $-2D + \frac{1}{2}C = D \implies \frac{1}{2}C = 3D \implies C = 6D$.

Примем $D=1$ (так как $D \ne 0$, можно разделить все коэффициенты на $D$). Тогда уравнение плоскости: $2x - 2y + 6z = 1$.

Нормальный вектор к этой плоскости: $\vec{n} = (2, -2, 6)$.

4. **Нахождение других точек пересечения плоскости с ребрами куба:**

Чтобы полностью определить многоугольник сечения, найдем точки пересечения плоскости $2x - 2y + 6z = 1$ с остальными ребрами куба.

- Пересечение с ребром $AA_1$ (ось $z$, где $x=0, y=0$, $z \in [0,1]$):

$2(0) - 2(0) + 6z = 1 \implies 6z = 1 \implies z = \frac{1}{6}$.

Получаем точку $M_4 = \left(0, 0, \frac{1}{6}\right)$, которая лежит на ребре $AA_1$.

- Пересечение с ребром $CC_1$ (где $x=1, y=1$, $z \in [0,1]$):

$2(1) - 2(1) + 6z = 1 \implies 2 - 2 + 6z = 1 \implies 6z = 1 \implies z = \frac{1}{6}$.

Получаем точку $M_5 = \left(1, 1, \frac{1}{6}\right)$, которая лежит на ребре $CC_1$.

Проверка других ребер показывает, что они не пересекаются с плоскостью внутри своих отрезков.

5. **Определение формы сечения:**

Вершинами многоугольника сечения являются найденные точки:

$M_1 = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$

$M_2 = \left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$

$M_5 = \left(1, 1, \frac{1}{6}\right)$

$M_3 = \left(0, 1, \frac{1}{2}\right)$

$M_4 = \left(0, 0, \frac{1}{6}\right)$

Эти точки образуют пятиугольник $M_1M_2M_5M_3M_4$.

6. **Вычисление площади сечения (метод проекции):**

Площадь пространственного многоугольника можно найти, спроектировав его на одну из координатных плоскостей, вычислив площадь проекции, а затем разделив ее на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Спроектируем пятиугольник на координатную плоскость $xy$ ($z=0$). Проекции вершин:

$M_1' = \left(\frac{1}{2}, 0\right)$

$M_2' = \left(1, \frac{1}{2}\right)$

$M_5' = \left(1, 1\right)$

$M_3' = \left(0, 1\right)$

$M_4' = \left(0, 0\right)$

Площадь проекции $S_{xy}$ вычислим по формуле шнурков (Shoelace formula) для упорядоченных вершин $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$. Возьмем вершины в циклическом порядке $M_4', M_1', M_2', M_5', M_3'$:

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1)|$

$M_4'=(0,0)$, $M_1'=(0.5,0)$, $M_2'=(1,0.5)$, $M_5'=(1,1)$, $M_3'=(0,1)$.

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(0 \cdot 0 + 0.5 \cdot 0.5 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0) - (0 \cdot 0.5 + 0 \cdot 1 + 0.5 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0)|$

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(0 + 0.25 + 1 + 1 + 0) - (0 + 0 + 0.5 + 0 + 0)|$

$S_{xy} = \frac{1}{2} |2.25 - 0.5| = \frac{1}{2} |1.75| = \frac{1.75}{2} = \frac{7}{8}$.

Теперь найдем косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$. Нормальный вектор к плоскости сечения $\vec{n}=(2, -2, 6)$. Нормальный вектор к плоскости $xy$ — это вектор оси $z$, $\vec{k}=(0,0,1)$.

$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$.

$|\vec{k}| = 1$.

$\vec{n} \cdot \vec{k} = (2)(0) + (-2)(0) + (6)(1) = 6$.

$\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|6|}{2\sqrt{11} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{11}}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции $S_{xy}$ формулой: $S = \frac{S_{xy}}{|\cos \gamma|}$.

$S = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{3}{\sqrt{11}}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{7\sqrt{11}}{24}$.

Ответ:

Площадь сечения куба равна $\frac{7\sqrt{11}}{24}$.