Номер 19.16, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.16. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора с началом в вершине A и концом в вершине $C_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба: $a = 1$ (единица длины).

Вектор имеет начало в вершине A и конец в вершине C₁.

Найти:

Длину вектора $\vec{AC_1}$.

Решение:

Для решения задачи можно использовать координатный метод или геометрический метод с применением теоремы Пифагора.

1. Координатный метод:

Разместим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина A совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$. Поскольку куб единичный, длина каждого его ребра равна 1.

Ориентируем оси координат вдоль ребер, выходящих из вершины A:

• Ребро AB вдоль оси x. Тогда B имеет координаты $(1, 0, 0)$.
• Ребро AD вдоль оси y. Тогда D имеет координаты $(0, 1, 0)$.
• Ребро AA₁ вдоль оси z. Тогда A₁ имеет координаты $(0, 0, 1)$.

Теперь определим координаты вершины C₁. Вершина C находится в плоскости основания (xy) и является противоположной A по диагонали в квадрате ABCD. Ее координаты: $(1, 1, 0)$.

Вершина C₁ находится над вершиной C на высоте, равной длине ребра (1) вдоль оси z. Следовательно, координаты вершины C₁: $(1, 1, 1)$.

Вектор $\vec{AC_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек:

$\vec{AC_1} = (C_{1x} - A_x, C_{1y} - A_y, C_{1z} - A_z)$

$\vec{AC_1} = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 0) = (1, 1, 1)$.

Длина (модуль) вектора $|\vec{v}|$ с компонентами $(x, y, z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Применяем формулу для вектора $\vec{AC_1}$:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}$

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{1 + 1 + 1}$

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{3}$.

2. Геометрический метод (по теореме Пифагора):

Рассмотрим куб. Вектор $\vec{AC_1}$ является пространственной диагональю куба.

Сначала найдем длину диагонали основания AC. Треугольник ABC является прямоугольным (угол B равен $90^\circ$), так как ABCD - квадрат. Стороны AB и BC равны длине ребра куба $a = 1$.

По теореме Пифагора для треугольника ABC:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AC = \sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACC_1$. Это также прямоугольный треугольник, где угол C равен $90^\circ$, поскольку ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания ABCD, а значит, и диагонали AC, лежащей в этой плоскости.

Катеты этого треугольника - это AC (диагональ основания, которую мы нашли) и $CC_1$ (ребро куба). Гипотенуза - это $AC_1$, длина которой нам нужна.

Длина $CC_1 = a = 1$.

По теореме Пифагора для треугольника $ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2$

$AC_1^2 = 2 + 1$

$AC_1^2 = 3$

$AC_1 = \sqrt{3}$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ:

Длина вектора $\vec{AC_1}$ равна $\sqrt{3}$.