Задания, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Проведите доказательство этих свойств самостоятельно аналогично тому, как это делалось для плоскости.

В геометрии пространства многие свойства плоскостей аналогичны свойствам прямых на плоскости. Ниже приведены доказательства некоторых из этих свойств, выполненные по аналогии с доказательствами соответствующих свойств прямых на плоскости.

1. Принадлежность прямой плоскости, если две ее точки лежат в плоскости

Пусть прямая $l$ проходит через точки $A$ и $B$, и обе эти точки лежат в плоскости $\alpha$. Необходимо доказать, что вся прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$.
Решение

Аналогия с плоскостью (2D):
На плоскости прямая однозначно определяется двумя точками. Если две точки одной прямой лежат на другой прямой (которая в данном контексте выступает аналогом "плоскости" для 1D-пространства), то эти прямые совпадают, и, следовательно, все точки первой прямой лежат на второй.

Доказательство в пространстве (3D):
Рассмотрим плоскость $\alpha$, заданную общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$.
Пусть точки $A=(x_A, y_A, z_A)$ и $B=(x_B, y_B, z_B)$ лежат в плоскости $\alpha$. Это означает, что их координаты удовлетворяют уравнению плоскости:
$Ax_A + By_A + Cz_A + D = 0$ (1)
$Ax_B + By_B + Cz_B + D = 0$ (2)
Рассмотрим произвольную точку $P=(x_P, y_P, z_P)$ на прямой $l$, проходящей через $A$ и $B$. Параметрические уравнения прямой $l$ могут быть записаны как:
$x_P = x_A + t(x_B - x_A)$
$y_P = y_A + t(y_B - y_A)$
$z_P = z_A + t(z_B - z_A)$
для некоторого параметра $t \in \mathbb{R}$.
Подставим координаты точки $P$ в уравнение плоскости $\alpha$:
$A(x_A + t(x_B - x_A)) + B(y_A + t(y_B - y_A)) + C(z_A + t(z_B - z_A)) + D = 0$
Раскроем скобки и перегруппируем члены:
$(Ax_A + By_A + Cz_A + D) + t(A(x_B - x_A) + B(y_B - y_A) + C(z_B - z_A)) = 0$
Из уравнения (1) мы знаем, что $Ax_A + By_A + Cz_A + D = 0$.
Теперь рассмотрим второе слагаемое. Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
$(Ax_B + By_B + Cz_B + D) - (Ax_A + By_A + Cz_A + D) = 0 - 0$
$A(x_B - x_A) + B(y_B - y_A) + C(z_B - z_A) = 0$
Таким образом, второе слагаемое также равно нулю.
Получаем: $0 + t(0) = 0$, что всегда верно для любого $t$.
Это означает, что любая точка $P$ на прямой $l$ удовлетворяет уравнению плоскости $\alpha$, а следовательно, лежит в этой плоскости.
Таким образом, вся прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$.

Ответ:

2. Пересечение двух плоскостей

Пусть даны две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$, имеющие общую точку $P$. Необходимо доказать, что они пересекаются по прямой, проходящей через $P$.
Решение

Аналогия с плоскостью (2D):
На плоскости, если две различные прямые имеют общую точку, то они пересекаются только в этой точке. В пространстве, пересечение "двумерных объектов" (плоскостей) должно быть "одномерным объектом" (прямой), если они не совпадают и не параллельны.

Доказательство в пространстве (3D):
Пусть плоскость $\alpha$ задана общим уравнением $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$, а плоскость $\beta$ — уравнением $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$.
Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ не параллельны (т.е. не пропорциональны). Если бы они были параллельны, плоскости были бы либо параллельны, либо совпадали, что противоречит условию "различные плоскости, имеющие общую точку".
Точки, принадлежащие пересечению обеих плоскостей, должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Таким образом, пересечение плоскостей описывается системой уравнений:

$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$

Эта система состоит из двух линейных уравнений с тремя переменными ($x, y, z$). Поскольку нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ не параллельны, эти уравнения линейно независимы. Такая система, имеющая решение (поскольку плоскости имеют общую точку $P$), описывает в пространстве прямую линию.
Поскольку точка $P$ является общей для обеих плоскостей, ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы, и, следовательно, она лежит на этой прямой пересечения.
Таким образом, две различные плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Ответ:

3. Существование и единственность плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки $A=(x_1, y_1, z_1)$, $B=(x_2, y_2, z_2)$, $C=(x_3, y_3, z_3)$, не лежащие на одной прямой.
Решение

Аналогия с плоскостью (2D):
На плоскости через две различные точки проходит единственная прямая. Аналогично, в пространстве через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Доказательство для прямой часто опирается на то, что две точки однозначно определяют коэффициенты линейного уравнения $Ax+By+C=0$.

Доказательство в пространстве (3D):
Существование:
Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где коэффициенты $A, B, C$ не равны нулю одновременно.
Поскольку точки $A, B, C$ лежат в искомой плоскости, их координаты должны удовлетворять этому уравнению:
$Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0$ (1)
$Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0$ (2)
$Ax_3 + By_3 + Cz_3 + D = 0$ (3)
Это система из трех линейных однородных уравнений относительно четырех неизвестных $A, B, C, D$. Такая система всегда имеет нетривиальное решение (то есть не все $A,B,C,D$ равны нулю). Поскольку точки $A, B, C$ не коллинеарны, ранг матрицы коэффициентов этой системы равен 3, что обеспечивает существование ненулевых $A, B, C$ (не все $A, B, C$ будут нулями, иначе это не плоскость). Таким образом, существует набор коэффициентов $A, B, C, D$, который определяет плоскость, проходящую через данные три точки.

Единственность:
Предположим, что существуют две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$, каждая из которых проходит через точки $A$, $B$, $C$.
Если две различные плоскости имеют общие точки, то их пересечением является прямая (согласно свойству "Пересечение двух плоскостей", доказанному выше).
Так как точки $A$, $B$, $C$ лежат как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$, они должны принадлежать их пересечению.
Следовательно, точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой — линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Однако это противоречит исходному условию, что точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой (они неколлинеарны).
Таким образом, наше предположение о существовании двух различных плоскостей, проходящих через три неколлинеарные точки, неверно. Следовательно, такая плоскость единственна.

Ответ: