Номер 20.3, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.3. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 20.9) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору:

а) $\vec{AB}$;

б) $\vec{AC}$;

в) $\vec{AD}$;

г) $\vec{AB_1}$;

д) $\vec{AC_1}$.

Рис. 20.9

Решение

Векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. В правильной шестиугольной призме основания являются правильными шестиугольниками, а боковые грани — прямоугольниками. Боковые ребра призмы параллельны и равны по длине.

Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ (предполагаем, что вершины перечислены по часовой стрелке, как на рисунке):

• Стороны: $AB, BC, CD, DE, EF, FA$. Противоположные стороны параллельны и равны по длине. Например, $AB \parallel ED$.
• Короткие диагонали (соединяющие вершины через одну): $AC, BD, CE, DF, EA, FB$. Они все равны по длине. Например, $AC \parallel FD \parallel EB$.
• Длинные диагонали (соединяющие противоположные вершины через центр): $AD, BE, CF$. Они все равны по длине и проходят через центр шестиугольника. Поэтому никакие две из них не параллельны друг другу.

а) $\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ представляет собой вектор, идущий вдоль одной из сторон нижнего основания.

• В верхнем основании: Вектор $\vec{A_1B_1}$ параллелен вектору $\vec{AB}$ и имеет ту же длину, поэтому $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$.
• В нижнем основании: Вектор $\vec{ED}$ (из $E$ в $D$) параллелен вектору $\vec{AB}$ и имеет ту же длину и направление (при условии часовой нумерации вершин). Поэтому $\vec{ED} = \vec{AB}$.
• В верхнем основании: Вектор $\vec{E_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{ED}$ и имеет ту же длину, следовательно, $\vec{E_1D_1} = \vec{ED} = \vec{AB}$.

Ответ: $\vec{A_1B_1}$, $\vec{ED}$, $\vec{E_1D_1}$

б) $\vec{AC}$

Вектор $\vec{AC}$ представляет собой вектор вдоль короткой диагонали нижнего основания.

• В верхнем основании: Вектор $\vec{A_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{AC}$ и имеет ту же длину, поэтому $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$.
• В нижнем основании: Векторы $\vec{FD}$ (из $F$ в $D$) и $\vec{EB}$ (из $E$ в $B$) являются короткими диагоналями, параллельными $\vec{AC}$ и имеющими то же направление и длину. Поэтому $\vec{FD} = \vec{AC}$ и $\vec{EB} = \vec{AC}$.
• В верхнем основании: Аналогично, векторы $\vec{F_1D_1}$ и $\vec{E_1B_1}$ равны $\vec{AC}$.

Ответ: $\vec{A_1C_1}$, $\vec{FD}$, $\vec{EB}$, $\vec{F_1D_1}$, $\vec{E_1B_1}$

в) $\vec{AD}$

Вектор $\vec{AD}$ представляет собой вектор вдоль длинной диагонали нижнего основания.

• В верхнем основании: Вектор $\vec{A_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{AD}$ и имеет ту же длину, поэтому $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$.
• В нижнем основании: Другие длинные диагонали ($\vec{BE}$ и $\vec{CF}$) не параллельны $\vec{AD}$, так как они пересекаются в центре шестиугольника. Следовательно, нет других векторов, равных $\vec{AD}$, среди векторов, соединяющих вершины нижнего основания.

Ответ: $\vec{A_1D_1}$

г) $\vec{AB_1}$

Вектор $\vec{AB_1}$ может быть представлен как сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BB_1}$ (по правилу треугольника: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$).

• Мы ищем векторы $\vec{XY_1}$ такие, что $\vec{XY_1} = \vec{AB_1}$. Это означает, что $\vec{XY}$ должно быть равно $\vec{AB}$, а $\vec{YY_1}$ должно быть равно $\vec{BB_1}$.
• Из части (а) мы знаем, что $\vec{ED}$ равен $\vec{AB}$.
• Все боковые ребра призмы равны и параллельны, то есть $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{EE_1} = \vec{FF_1}$.
• Следовательно, вектор $\vec{ED_1}$ может быть записан как $\vec{ED_1} = \vec{ED} + \vec{DD_1}$. Так как $\vec{ED} = \vec{AB}$ и $\vec{DD_1} = \vec{BB_1}$, то $\vec{ED_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}$.

Ответ: $\vec{ED_1}$

д) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ может быть представлен как сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ (по правилу треугольника: $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$).

• Мы ищем векторы $\vec{XY_1}$ такие, что $\vec{XY_1} = \vec{AC_1}$. Это означает, что $\vec{XY}$ должно быть равно $\vec{AC}$, а $\vec{YY_1}$ должно быть равно $\vec{CC_1}$.
• Из части (б) мы знаем, что $\vec{FD}$ и $\vec{EB}$ равны $\vec{AC}$.
• Все боковые ребра призмы равны и параллельны.
• Следовательно, векторы $\vec{FD_1}$ и $\vec{EB_1}$ будут равны $\vec{AC_1}$:
  • $\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$. Так как $\vec{FD} = \vec{AC}$ и $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$, то $\vec{FD_1} = \vec{AC_1}$.
  • $\vec{EB_1} = \vec{EB} + \vec{BB_1}$. Так как $\vec{EB} = \vec{AC}$ и $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$, то $\vec{EB_1} = \vec{AC_1}$.

Ответ: $\vec{FD_1}$, $\vec{EB_1}$