Вопросы, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется вектором?

2. Какой вектор называется нулевым?

3. Какие два вектора называются коллинеарными?

4. Что называется длиной (модулем) вектора?

5. Какие два вектора называются равными?

6. Как определяется операция сложения векторов?

7. Сформулируйте переместительный закон сложения векторов.

8. Сформулируйте сочетательный закон сложения векторов.

9. Как определяется произведение вектора на число?

10. Как обозначается произведение вектора на число?

11. Какой вектор называется противоположным данному вектору? Как он обозначается?

12. Что называется разностью двух векторов? Как она обозначается?

13. Сформулируйте сочетательный закон умножения вектора на число.

14. Сформулируйте первый распределительный закон умножения вектора на число.

15. Сформулируйте второй распределительный закон умножения вектора на число.

1. Что называется вектором?

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Ответ:

2. Какой вектор называется нулевым?

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Его длина равна нулю, а направление считается неопределенным.

Ответ:

3. Какие два вектора называются коллинеарными?

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Ответ:

4. Что называется длиной (модулем) вектора?

Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор. Если вектор $\vec{a}$ в декартовой системе координат имеет координаты $(x, y, z)$, то его длина обозначается $|\vec{a}|$ и вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Ответ:

5. Какие два вектора называются равными?

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Ответ:

6. Как определяется операция сложения векторов?

Операция сложения векторов определяется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. По правилу треугольника: чтобы сложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, необходимо от конца вектора $\vec{a}$ отложить вектор $\vec{b}$. Тогда вектор, идущий от начала вектора $\vec{a}$ к концу вектора $\vec{b}$, будет суммой $\vec{a} + \vec{b}$. По правилу параллелограмма: если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют общее начало, то их сумма является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах как на смежных сторонах, исходящей из их общего начала.

Ответ:

7. Сформулируйте переместительный закон сложения векторов.

Переместительный (коммутативный) закон сложения векторов гласит, что от перестановки слагаемых сумма не меняется. Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Ответ:

8. Сформулируйте сочетательный закон сложения векторов.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения векторов гласит, что результат сложения трех и более векторов не зависит от порядка группировки слагаемых. Для любых трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Ответ:

9. Как определяется произведение вектора на число?

Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется новый вектор $k\vec{a}$, который обладает следующими свойствами:

• его длина равна произведению модуля числа $k$ на длину вектора $\vec{a}$: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$;
• его направление совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если $k < 0$;
• если $k = 0$ или $\vec{a}$ является нулевым вектором, то $k\vec{a}$ является нулевым вектором.

Ответ:

10. Как обозначается произведение вектора на число?

Произведение вектора $\vec{a}$ на число $k$ обозначается как $k\vec{a}$ или $\vec{a}k$.

Ответ:

11. Какой вектор называется противоположным данному вектору? Как он обозначается?

Вектор, противоположный данному вектору $\vec{a}$, — это вектор, имеющий ту же длину, что и $\vec{a}$, но противоположное направление. Он обозначается как $-\vec{a}$.

Ответ:

12. Что называется разностью двух векторов? Как она обозначается?

Разностью двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется вектор, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Иными словами, это сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$. Разность обозначается как $\vec{a} - \vec{b}$. Таким образом, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Геометрически, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены из одной точки, то разность $\vec{a} - \vec{b}$ - это вектор, идущий от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$.

Ответ:

13. Сформулируйте сочетательный закон умножения вектора на число.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения вектора на число гласит, что для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $k_1, k_2$ справедливо равенство: $(k_1 k_2)\vec{a} = k_1(k_2\vec{a})$.

Ответ:

14. Сформулируйте первый распределительный закон умножения вектора на число.

Первый распределительный (дистрибутивный) закон умножения вектора на число гласит, что произведение суммы чисел на вектор равно сумме произведений каждого числа на этот вектор. Для любых чисел $k_1, k_2$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство: $(k_1 + k_2)\vec{a} = k_1\vec{a} + k_2\vec{a}$.

Ответ:

15. Сформулируйте второй распределительный закон умножения вектора на число.

Второй распределительный (дистрибутивный) закон умножения вектора на число гласит, что произведение числа на сумму векторов равно сумме произведений этого числа на каждый вектор. Для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ справедливо равенство: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.

Ответ: