Страница 112 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Проведите доказательство этих свойств самостоятельно аналогично тому, как это делалось для плоскости.

В геометрии пространства многие свойства плоскостей аналогичны свойствам прямых на плоскости. Ниже приведены доказательства некоторых из этих свойств, выполненные по аналогии с доказательствами соответствующих свойств прямых на плоскости.

1. Принадлежность прямой плоскости, если две ее точки лежат в плоскости

Пусть прямая $l$ проходит через точки $A$ и $B$, и обе эти точки лежат в плоскости $\alpha$. Необходимо доказать, что вся прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$.
Решение

Аналогия с плоскостью (2D):
На плоскости прямая однозначно определяется двумя точками. Если две точки одной прямой лежат на другой прямой (которая в данном контексте выступает аналогом "плоскости" для 1D-пространства), то эти прямые совпадают, и, следовательно, все точки первой прямой лежат на второй.

Доказательство в пространстве (3D):
Рассмотрим плоскость $\alpha$, заданную общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$.
Пусть точки $A=(x_A, y_A, z_A)$ и $B=(x_B, y_B, z_B)$ лежат в плоскости $\alpha$. Это означает, что их координаты удовлетворяют уравнению плоскости:
$Ax_A + By_A + Cz_A + D = 0$ (1)
$Ax_B + By_B + Cz_B + D = 0$ (2)
Рассмотрим произвольную точку $P=(x_P, y_P, z_P)$ на прямой $l$, проходящей через $A$ и $B$. Параметрические уравнения прямой $l$ могут быть записаны как:
$x_P = x_A + t(x_B - x_A)$
$y_P = y_A + t(y_B - y_A)$
$z_P = z_A + t(z_B - z_A)$
для некоторого параметра $t \in \mathbb{R}$.
Подставим координаты точки $P$ в уравнение плоскости $\alpha$:
$A(x_A + t(x_B - x_A)) + B(y_A + t(y_B - y_A)) + C(z_A + t(z_B - z_A)) + D = 0$
Раскроем скобки и перегруппируем члены:
$(Ax_A + By_A + Cz_A + D) + t(A(x_B - x_A) + B(y_B - y_A) + C(z_B - z_A)) = 0$
Из уравнения (1) мы знаем, что $Ax_A + By_A + Cz_A + D = 0$.
Теперь рассмотрим второе слагаемое. Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
$(Ax_B + By_B + Cz_B + D) - (Ax_A + By_A + Cz_A + D) = 0 - 0$
$A(x_B - x_A) + B(y_B - y_A) + C(z_B - z_A) = 0$
Таким образом, второе слагаемое также равно нулю.
Получаем: $0 + t(0) = 0$, что всегда верно для любого $t$.
Это означает, что любая точка $P$ на прямой $l$ удовлетворяет уравнению плоскости $\alpha$, а следовательно, лежит в этой плоскости.
Таким образом, вся прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$.

Ответ:

2. Пересечение двух плоскостей

Пусть даны две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$, имеющие общую точку $P$. Необходимо доказать, что они пересекаются по прямой, проходящей через $P$.
Решение

Аналогия с плоскостью (2D):
На плоскости, если две различные прямые имеют общую точку, то они пересекаются только в этой точке. В пространстве, пересечение "двумерных объектов" (плоскостей) должно быть "одномерным объектом" (прямой), если они не совпадают и не параллельны.

Доказательство в пространстве (3D):
Пусть плоскость $\alpha$ задана общим уравнением $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$, а плоскость $\beta$ — уравнением $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$.
Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ не параллельны (т.е. не пропорциональны). Если бы они были параллельны, плоскости были бы либо параллельны, либо совпадали, что противоречит условию "различные плоскости, имеющие общую точку".
Точки, принадлежащие пересечению обеих плоскостей, должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Таким образом, пересечение плоскостей описывается системой уравнений:

$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$

Эта система состоит из двух линейных уравнений с тремя переменными ($x, y, z$). Поскольку нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ не параллельны, эти уравнения линейно независимы. Такая система, имеющая решение (поскольку плоскости имеют общую точку $P$), описывает в пространстве прямую линию.
Поскольку точка $P$ является общей для обеих плоскостей, ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы, и, следовательно, она лежит на этой прямой пересечения.
Таким образом, две различные плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Ответ:

3. Существование и единственность плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки $A=(x_1, y_1, z_1)$, $B=(x_2, y_2, z_2)$, $C=(x_3, y_3, z_3)$, не лежащие на одной прямой.
Решение

Аналогия с плоскостью (2D):
На плоскости через две различные точки проходит единственная прямая. Аналогично, в пространстве через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Доказательство для прямой часто опирается на то, что две точки однозначно определяют коэффициенты линейного уравнения $Ax+By+C=0$.

Доказательство в пространстве (3D):
Существование:
Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где коэффициенты $A, B, C$ не равны нулю одновременно.
Поскольку точки $A, B, C$ лежат в искомой плоскости, их координаты должны удовлетворять этому уравнению:
$Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0$ (1)
$Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0$ (2)
$Ax_3 + By_3 + Cz_3 + D = 0$ (3)
Это система из трех линейных однородных уравнений относительно четырех неизвестных $A, B, C, D$. Такая система всегда имеет нетривиальное решение (то есть не все $A,B,C,D$ равны нулю). Поскольку точки $A, B, C$ не коллинеарны, ранг матрицы коэффициентов этой системы равен 3, что обеспечивает существование ненулевых $A, B, C$ (не все $A, B, C$ будут нулями, иначе это не плоскость). Таким образом, существует набор коэффициентов $A, B, C, D$, который определяет плоскость, проходящую через данные три точки.

Единственность:
Предположим, что существуют две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$, каждая из которых проходит через точки $A$, $B$, $C$.
Если две различные плоскости имеют общие точки, то их пересечением является прямая (согласно свойству "Пересечение двух плоскостей", доказанному выше).
Так как точки $A$, $B$, $C$ лежат как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$, они должны принадлежать их пересечению.
Следовательно, точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой — линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Однако это противоречит исходному условию, что точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой (они неколлинеарны).
Таким образом, наше предположение о существовании двух различных плоскостей, проходящих через три неколлинеарные точки, неверно. Следовательно, такая плоскость единственна.

Ответ:

Вопросы

1. Что называется вектором?

2. Какой вектор называется нулевым?

3. Какие два вектора называются коллинеарными?

4. Что называется длиной (модулем) вектора?

5. Какие два вектора называются равными?

6. Как определяется операция сложения векторов?

7. Сформулируйте переместительный закон сложения векторов.

8. Сформулируйте сочетательный закон сложения векторов.

9. Как определяется произведение вектора на число?

10. Как обозначается произведение вектора на число?

11. Какой вектор называется противоположным данному вектору? Как он обозначается?

12. Что называется разностью двух векторов? Как она обозначается?

13. Сформулируйте сочетательный закон умножения вектора на число.

14. Сформулируйте первый распределительный закон умножения вектора на число.

15. Сформулируйте второй распределительный закон умножения вектора на число.

1. Что называется вектором?

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Ответ:

2. Какой вектор называется нулевым?

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Его длина равна нулю, а направление считается неопределенным.

Ответ:

3. Какие два вектора называются коллинеарными?

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Ответ:

4. Что называется длиной (модулем) вектора?

Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор. Если вектор $\vec{a}$ в декартовой системе координат имеет координаты $(x, y, z)$, то его длина обозначается $|\vec{a}|$ и вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Ответ:

5. Какие два вектора называются равными?

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Ответ:

6. Как определяется операция сложения векторов?

Операция сложения векторов определяется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. По правилу треугольника: чтобы сложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, необходимо от конца вектора $\vec{a}$ отложить вектор $\vec{b}$. Тогда вектор, идущий от начала вектора $\vec{a}$ к концу вектора $\vec{b}$, будет суммой $\vec{a} + \vec{b}$. По правилу параллелограмма: если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют общее начало, то их сумма является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах как на смежных сторонах, исходящей из их общего начала.

Ответ:

7. Сформулируйте переместительный закон сложения векторов.

Переместительный (коммутативный) закон сложения векторов гласит, что от перестановки слагаемых сумма не меняется. Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Ответ:

8. Сформулируйте сочетательный закон сложения векторов.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения векторов гласит, что результат сложения трех и более векторов не зависит от порядка группировки слагаемых. Для любых трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Ответ:

9. Как определяется произведение вектора на число?

Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется новый вектор $k\vec{a}$, который обладает следующими свойствами:

• его длина равна произведению модуля числа $k$ на длину вектора $\vec{a}$: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$;
• его направление совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если $k < 0$;
• если $k = 0$ или $\vec{a}$ является нулевым вектором, то $k\vec{a}$ является нулевым вектором.

Ответ:

10. Как обозначается произведение вектора на число?

Произведение вектора $\vec{a}$ на число $k$ обозначается как $k\vec{a}$ или $\vec{a}k$.

Ответ:

11. Какой вектор называется противоположным данному вектору? Как он обозначается?

Вектор, противоположный данному вектору $\vec{a}$, — это вектор, имеющий ту же длину, что и $\vec{a}$, но противоположное направление. Он обозначается как $-\vec{a}$.

Ответ:

12. Что называется разностью двух векторов? Как она обозначается?

Разностью двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется вектор, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Иными словами, это сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$. Разность обозначается как $\vec{a} - \vec{b}$. Таким образом, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Геометрически, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены из одной точки, то разность $\vec{a} - \vec{b}$ - это вектор, идущий от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$.

Ответ:

13. Сформулируйте сочетательный закон умножения вектора на число.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения вектора на число гласит, что для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $k_1, k_2$ справедливо равенство: $(k_1 k_2)\vec{a} = k_1(k_2\vec{a})$.

Ответ:

14. Сформулируйте первый распределительный закон умножения вектора на число.

Первый распределительный (дистрибутивный) закон умножения вектора на число гласит, что произведение суммы чисел на вектор равно сумме произведений каждого числа на этот вектор. Для любых чисел $k_1, k_2$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство: $(k_1 + k_2)\vec{a} = k_1\vec{a} + k_2\vec{a}$.

Ответ:

15. Сформулируйте второй распределительный закон умножения вектора на число.

Второй распределительный (дистрибутивный) закон умножения вектора на число гласит, что произведение числа на сумму векторов равно сумме произведений этого числа на каждый вектор. Для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ справедливо равенство: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.

Ответ: