Страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.2. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, плоскостью, проходящей через вершины $A$, $B$ и $C_1$ (рис. 19.5).

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $B$ и $C_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ м}$ (для общности, так как единицы измерения не указаны в задаче).

Найти:

Площадь сечения $S_{ABC_1}$.

Решение:

Сечением, проходящим через вершины $A$, $B$ и $C_1$, является треугольник $ABC_1$. Для вычисления его площади необходимо определить длины всех его сторон.

1. Длина стороны $AB$. Сторона $AB$ является ребром основания правильной треугольной призмы. По условию, все ребра призмы равны 1. Следовательно, $AB = 1$.

2. Длина стороны $AC_1$. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Поскольку призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, а боковые грани являются прямоугольниками. Таким образом, треугольник $ACC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Длины катетов $AC$ и $CC_1$ равны 1 (так как все ребра призмы равны 1). По теореме Пифагора находим длину гипотенузы $AC_1$:

$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $BC_1$. Аналогично, сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Треугольник $BCC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Длины катетов $BC$ и $CC_1$ равны 1. По теореме Пифагора находим длину гипотенузы $BC_1$:

$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник сечения $ABC_1$ имеет длины сторон $AB = 1$, $AC_1 = \sqrt{2}$ и $BC_1 = \sqrt{2}$. Этот треугольник является равнобедренным.

Для вычисления площади равнобедренного треугольника $ABC_1$ найдем его высоту, опущенную из вершины $C_1$ на основание $AB$. Пусть $M$ - середина отрезка $AB$. Тогда $C_1M$ является высотой треугольника $ABC_1$ (так как в равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой).

Длина отрезка $AM = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC_1$ (прямой угол при вершине $M$). По теореме Пифагора:

$C_1M^2 = AC_1^2 - AM^2$

$C_1M^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$C_1M^2 = 2 - \frac{1}{4}$

$C_1M^2 = \frac{8}{4} - \frac{1}{4}$

$C_1M^2 = \frac{7}{4}$

$C_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Площадь треугольника $ABC_1$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \times AB \times C_1M$

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{7}}{2}$

$S_{ABC_1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $S_{ABC_1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

19.3. Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, плоскостью, проходящей через вершины:

а) $A, C, C_1$;

б) $A, D, D_1$ (рис. 19.6).

Рис. 19.6

a)

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная единица, остается 1 для расчетов).

Найти:

Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины $A, C, C_1$.

Решение

Сечение, проходящее через вершины $A, C, C_1$, является прямоугольником $ACC_1A_1$.

Поскольку боковые ребра призмы $AA_1$ и $CC_1$ перпендикулярны плоскости основания, то они параллельны друг другу и равны по длине $AA_1 = CC_1 = 1$.

В основании $ABCDEF$ лежит правильный шестиугольник. Линия $AC$ является диагональю этого шестиугольника. Линия $A_1C_1$ является такой же диагональю в верхнем основании и параллельна $AC$. Таким образом, $ACC_1A_1$ — это параллелограмм.

Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, то оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая диагональ $AC$. Следовательно, угол $\angle A_1AC = 90^\circ$.

Поэтому параллелограмм $ACC_1A_1$ является прямоугольником.

Для вычисления площади прямоугольника $S_{ACC_1A_1}$ нам необходимо знать длины его сторон: $AA_1$ и $AC$.

Длина $AA_1 = 1$ (дано).

Найдем длину диагонали $AC$ в правильном шестиугольнике со стороной $a=1$. Угол $\angle ABC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$. Используем теорему косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 2 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$

Теперь вычислим площадь сечения:

$S_{ACC_1A_1} = AC \cdot AA_1 = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

б)

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная единица, остается 1 для расчетов).

Найти:

Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины $A, D, D_1$.

Решение

Сечение, проходящее через вершины $A, D, D_1$, является прямоугольником $ADD_1A_1$.

Аналогично предыдущему случаю, боковые ребра призмы $AA_1$ и $DD_1$ перпендикулярны плоскости основания, параллельны друг другу и равны по длине $AA_1 = DD_1 = 1$.

Линия $AD$ является главной (самой длинной) диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Линия $A_1D_1$ является такой же диагональю в верхнем основании и параллельна $AD$. Таким образом, $ADD_1A_1$ — это параллелограмм.

Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, оно перпендикулярно диагонали $AD$. Следовательно, угол $\angle A_1AD = 90^\circ$.

Поэтому параллелограмм $ADD_1A_1$ является прямоугольником.

Для вычисления площади прямоугольника $S_{ADD_1A_1}$ нам необходимо знать длины его сторон: $AA_1$ и $AD$.

Длина $AA_1 = 1$ (дано).

Найдем длину диагонали $AD$ в правильном шестиугольнике со стороной $a=1$. Главная диагональ правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны.

$AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь вычислим площадь сечения:

$S_{ADD_1A_1} = AD \cdot AA_1 = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$

19.4. Найдите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, плоскостью, проходящей через вершины $A$, $C$ и $S$ (рис. 19.7).

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра пирамиды равны 1. То есть, $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $C$ и $S$.

Перевод в СИ: Все длины ребер равны 1 (безразмерная величина или условная единица измерения).

Найти:

Площадь сечения $S_{ASC}$.

Решение:

Плоскость, проходящая через вершины $A$, $C$ и $S$, образует треугольное сечение $\triangle ASC$.

1. Найдем длины сторон треугольника $\triangle ASC$.

По условию, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, длины боковых ребер, являющихся сторонами сечения, равны:

$AS = 1$

$SC = 1$

Основание пирамиды $ABCD$ является квадратом со стороной 1. Диагональ $AC$ этого квадрата является третьей стороной сечения. Длину диагонали $AC$ можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ (или $\triangle ADC$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2$

$AC^2 = 1 + 1$

$AC^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Таким образом, стороны треугольника $\triangle ASC$ равны: $AS=1$, $SC=1$, $AC=\sqrt{2}$.

2. Определим тип треугольника $\triangle ASC$ и найдем его площадь.

Проверим, выполняется ли для сторон треугольника $\triangle ASC$ теорема Пифагора. Для этого сравним квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$AS^2 + SC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Так как $AS^2 + SC^2 = AC^2$, то треугольник $\triangle ASC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $S$. Катетами данного треугольника являются $AS$ и $SC$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{ASC} = \frac{1}{2} \cdot AS \cdot SC$

$S_{ASC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1$

$S_{ASC} = \frac{1}{2}$

Ответ:

Площадь сечения равна $0.5$.

19.5. Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $CD$ (рис. 19.8).

Рис. 19.8

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Все ребра тетраэдра равны $a = 1$.

Плоскость сечения проходит через середины ребер $AB$, $BC$ и $CD$. Обозначим эти середины как $K$, $L$ и $M$ соответственно.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины, не требующая перевода для решения задачи).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1.Построение сечения.

Пусть $K$ – середина ребра $AB$, $L$ – середина ребра $BC$, $M$ – середина ребра $CD$.

Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ в треугольнике $ABC$. Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. Из этого следует, что $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

Отрезок $LM$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$ в треугольнике $BCD$. Следовательно, $LM$ является средней линией треугольника $BCD$. Из этого следует, что $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2} BD$.

Секущая плоскость проходит через точки $K, L, M$. Так как $KL \parallel AC$, а ребро $AC$ лежит в грани $ACD$, то линия пересечения секущей плоскости с гранью $ACD$ должна быть параллельна $AC$. Эта линия проходит через точку $M$ (которая лежит в грани $ACD$). Пусть эта линия пересекает ребро $AD$ в точке $N$. Тогда $MN \parallel AC$. Поскольку $M$ – середина $CD$, то $MN$ является средней линией треугольника $ACD$. Следовательно, $N$ – середина ребра $AD$.

Теперь соединим точку $N$ с точкой $K$. Отрезок $NK$ соединяет середины сторон $AD$ и $AB$ в треугольнике $ABD$. Следовательно, $NK$ является средней линией треугольника $ABD$. Из этого следует, что $NK \parallel BD$ и $NK = \frac{1}{2} BD$.

Таким образом, сечением является четырехугольник $KLMN$.

2.Определение вида сечения.

В правильном тетраэдре все ребра равны $a = 1$. Следовательно, $AC = BD = a = 1$.

Длины сторон четырехугольника $KLMN$:

• $KL = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
• $LM = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
• $MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
• $NK = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Все стороны четырехугольника $KLMN$ равны $\frac{1}{2}$. Следовательно, $KLMN$ является ромбом.

В правильном тетраэдре противоположные ребра перпендикулярны. В частности, ребро $AC$ перпендикулярно ребру $BD$.

Поскольку $KL \parallel AC$ и $LM \parallel BD$, то угол между $KL$ и $LM$ равен углу между $AC$ и $BD$, то есть $90^\circ$. Таким образом, $\angle KLM = 90^\circ$.

Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом.

Следовательно, сечение $KLMN$ – это квадрат со стороной $s = \frac{1}{2}$.

3.Вычисление площади сечения.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = s^2$.

$S = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $1/4$

19.6. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, плоскостью, проходящей через вершины $A$, $B$ и середину $D_1$ ребра $A_1 C_1$ (рис. 19.9).

Рис. 19.9

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1.

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $B$ и середину $D_1$ ребра $A_1C_1$.

Перевод в СИ

Длины всех ребер равны 1 условной единице длины.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Сечением является треугольник $ABD_1$. Для нахождения его площади нам нужна длина основания и соответствующая высота. В качестве основания выберем ребро $AB$.

1. Найдем длины сторон треугольника $ABD_1$.

a. Сторона $AB$: Так как $AB$ является ребром основания правильной треугольной призмы, и по условию все ребра равны 1, то $AB = 1$.

b. Сторона $AD_1$: Рассмотрим боковую грань $ACC_1A_1$. Эта грань представляет собой прямоугольник со сторонами $AA_1 = 1$ и $AC = 1$. Точка $D_1$ является серединой ребра $A_1C_1$. Следовательно, длина отрезка $A_1D_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1D_1$ (с прямым углом при вершине $A_1$). По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AD_1$: $AD_1^2 = AA_1^2 + A_1D_1^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. $AD_1 = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

c. Сторона $BD_1$: Опустим перпендикуляр $D_1M$ из точки $D_1$ на плоскость основания $ABC$. Поскольку призма правильная, $D_1M$ будет перпендикулярна плоскости основания и ее длина будет равна высоте призмы, то есть $D_1M = AA_1 = 1$. Точка $M$ является проекцией точки $D_1$ на плоскость основания. Так как $D_1$ - середина ребра $A_1C_1$, то $M$ - середина ребра $AC$. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании. Он является равносторонним треугольником со стороной 1. $BM$ является медианой, проведенной к стороне $AC$, а также высотой в равностороннем треугольнике $ABC$. Длина $MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. В прямоугольном треугольнике $BMC$ (с прямым углом при вершине $M$): $BM^2 = BC^2 - MC^2 = 1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. $BM = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BMD_1$. Он прямоугольный при вершине $M$, так как $D_1M$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, а $BM$ лежит в этой плоскости. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $BD_1$: $BD_1^2 = BM^2 + D_1M^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 1^2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$. $BD_1 = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

2. Найдем площадь треугольника $ABD_1$. Используем формулу площади $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания возьмем $AB$.

Проведем высоту $D_1K$ из вершины $D_1$ к основанию $AB$. $K$ - это точка на прямой $AB$ такая, что $D_1K \perp AB$. Мы знаем, что $D_1M$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, и $D_1M = 1$. $M$ - это середина $AC$. По теореме о трех перпендикулярах, если $D_1K \perp AB$ и $D_1M \perp \text{пл. }ABC$, то $MK \perp AB$. Таким образом, $MK$ является высотой из $M$ на $AB$ в плоскости основания. Расположим основание $ABC$ в координатной плоскости $xy$. Пусть $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Точка $M$ - середина $AC$, поэтому ее координаты $M = \left(\frac{0+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$. Прямая $AB$ совпадает с осью $x$. Расстояние от точки $M(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ до оси $x$ равно ее $y$-координате, то есть $MK = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $D_1MK$. Он прямоугольный при вершине $M$. Длина $D_1M = 1$ (высота призмы). Длина $MK = \frac{\sqrt{3}}{4}$. По теореме Пифагора найдем длину $D_1K$: $D_1K^2 = D_1M^2 + MK^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 + \frac{3}{16} = \frac{19}{16}$. $D_1K = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$.

Площадь треугольника $ABD_1$ вычисляется по формуле:$S_{ABD_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание } AB \cdot \text{высота } D_1K = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{19}}{8}$