Страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Какие многоугольники могут быть сечениями куба? Приведите примеры.

Сечениями куба могут быть многоугольники с количеством сторон от 3 до 6 включительно. Максимальное количество сторон равно 6, так как куб имеет 6 граней, и плоскость может пересечь не более шести граней. Каждая грань, пересекаемая плоскостью, образует одну сторону сечения.

Какие многоугольники могут быть сечениями куба?

Сечениями куба могут быть: треугольники (3 стороны), четырехугольники (4 стороны), пятиугольники (5 сторон) и шестиугольники (6 сторон).

Ответ:

Приведите примеры.

Треугольник: Сечение куба плоскостью, проходящей через три вершины, не лежащие на одной грани, например, плоскость, проходящая через вершины $A_1$, $B$, $D$ (где $A_1$ - верхняя вершина над $A$). Такое сечение отсекает угол куба. Например, если взять куб со стороной $a$, и плоскость пройдет через вершины $B_1$, $C$ и $D_1$, то каждая сторона полученного треугольника будет равна диагонали грани куба, т.е. $a\sqrt{2}$. Следовательно, это будет равносторонний треугольник.

Четырехугольник: Сечениями куба могут быть различные виды четырехугольников. Квадрат: Плоскость, параллельная одной из граней куба (например, плоскость, параллельная грани $ABCD$). Прямоугольник: Плоскость, проходящая через две противоположные грани и параллельная двум другим граням (например, плоскость, проходящая через середины четырех параллельных ребер, таких как $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$). Параллелограмм: Плоскость, пересекающая четыре параллельных ребра (например, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$), при этом она не перпендикулярна этим ребрам. Например, сечение, проходящее через вершину $A$, точку на ребре $BB_1$ на высоте $h$ (где $0 < h < \text{сторона куба}$ и $h \ne \text{сторона куба}/2$), вершину $C_1$ (над $C$), и точку на ребре $D_1D$ на высоте $h$. Ромб: Частный случай параллелограмма, когда все стороны равны. Может быть получен, например, плоскостью, проходящей через вершины $A$, середину ребра $B_1B$, вершину $C_1$, и середину ребра $D_1D$. Трапеция: Плоскость, пересекающая четыре ребра таким образом, что только две стороны сечения параллельны. Например, плоскость, проходящая через одно ребро куба (например, $AB$) и две точки на двух разных смежных ребрах противоположной грани (например, на $D_1D$ и $C_1C$), расположенные на разной высоте.

Пятиугольник: Сечение куба, которое пересекает пять его граней. Такое сечение можно получить, если плоскость "срезает" один угол куба, но не просто отсекает три грани, а задевает еще две соседние грани. Например, плоскость, проходящая через середины ребер $AA_1, BB_1, CC_1, D_1C_1, D_1A_1$.

Шестиугольник: Сечение куба, которое пересекает все шесть его граней. Это возможно только в том случае, если плоскость не параллельна ни одной паре граней. Максимальное количество вершин сечения куба равно шести. Наиболее известен пример правильного шестиугольника, который образуется при сечении куба плоскостью, проходящей через его центр и перпендикулярной одной из главных диагоналей куба. Например, если куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то плоскость, проходящая через середины ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1, A_1A$, образует шестиугольник.

Ответ:

Вопросы

1. Что называется сечением многогранника плоскостью?

2. Какое сечение призмы плоскостью называется диагональным?

3. Какое сечение пирамиды плоскостью называется диагональным?

4. В чем заключается метод следов?

1. Что называется сечением многогранника плоскостью?

Сечением многогранника плоскостью называется фигура, состоящая из всех точек, которые одновременно принадлежат как многограннику, так и секущей плоскости. Иными словами, это множество всех общих точек многогранника и плоскости.

Ответ:

2. Какое сечение призмы плоскостью называется диагональным?

Диагональным сечением призмы называется сечение, проходящее через два боковых ребра, не лежащих в одной боковой грани, то есть через два несоседних боковых ребра. Такое сечение также проходит через диагонали оснований, соединяющие вершины этих боковых ребер. Диагональное сечение призмы всегда является параллелограммом.

Ответ:

3. Какое сечение пирамиды плоскостью называется диагональным?

Диагональным сечением пирамиды называется сечение, проходящее через вершину пирамиды и одну из диагоналей ее основания. Такое сечение всегда является треугольником, у которого одна вершина совпадает с вершиной пирамиды, а две другие вершины лежат на концах диагонали основания.

Ответ:

4. В чем заключается метод следов?

Метод следов, или метод построения сечений с помощью следа секущей плоскости, заключается в следующем: для построения сечения многогранника произвольной плоскостью находят линию пересечения этой секущей плоскости с плоскостью одной из граней многогранника. Эта линия называется "следом" секущей плоскости на данной грани. Затем, используя этот след и заданные точки сечения, можно последовательно находить точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и линии ее пересечения с другими гранями, пока не будет полностью построен многоугольник, являющийся сечением.

Ответ:

18.1. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $B$, $D_1$ и середину ребра $CC_1$ (рис. 18.11). Определите его вид.

Рис. 18.11

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Секущая плоскость проходит через вершины $B$, $D_1$ и середину ребра $CC_1$.

Найти:

1. Построить сечение куба указанной плоскостью. 2. Определить вид полученного сечения.

Решение:

Построение сечения:

Пусть $M$ — середина ребра $CC_1$. Точки, через которые проходит секущая плоскость, это $B$, $D_1$ и $M$.

1. Соединим точки $B$ и $M$, так как они лежат в одной грани куба $BCC_1B_1$. Отрезок $BM$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. По свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с гранью $ADD_1A_1$ должна проходить через точку $D_1$ и быть параллельной отрезку $BM$. Пусть эта линия пересекает ребро $AA_1$ в точке $N$. Из свойств параллельных линий и пропорциональных отрезков (например, рассмотрев проекции на соответствующую плоскость или используя координаты), точка $N$ будет серединой ребра $AA_1$.

3. Соединим точки $D_1$ и $N$. Отрезок $D_1N$ является второй стороной сечения. Заметим, что $BM \parallel D_1N$.

4. Соединим точки $M$ и $D_1$. Эти точки лежат в грани $CDD_1C_1$ (точка $M$ лежит на ребре $CC_1$, а точка $D_1$ — вершина этой грани). Отрезок $MD_1$ является третьей стороной сечения.

5. Соединим точки $N$ и $B$. Эти точки лежат в грани $ABB_1A_1$ (точка $N$ лежит на ребре $AA_1$, а точка $B$ — вершина этой грани). Отрезок $NB$ является четвертой стороной сечения.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $BMD_1N$.

Ответ:

Построение сечения описано выше.

Определение вида сечения:

1.Параллельность сторон:
Мы уже установили, что $BM \parallel D_1N$, так как эти отрезки являются линиями пересечения секущей плоскости с параллельными гранями куба.
Рассмотрим отрезки $MD_1$ и $NB$. Пусть длина ребра куба равна $a$.
Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда вершины куба имеют координаты:
$A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$
$A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$
Точка $M$ (середина $CC_1$) имеет координаты $M(a,a,a/2)$.
Точка $N$ (середина $AA_1$) имеет координаты $N(0,0,a/2)$.
Вектор $\vec{MD_1} = (0-a, a-a, a-a/2) = (-a, 0, a/2)$.
Вектор $\vec{NB} = (a-0, 0-0, 0-a/2) = (a, 0, -a/2)$.
Так как $\vec{MD_1} = -1 \cdot \vec{NB}$, векторы $MD_1$ и $NB$ коллинеарны, а значит, отрезки $MD_1$ и $NB$ параллельны ($MD_1 \parallel NB$).
Поскольку обе пары противоположных сторон четырехугольника $BMD_1N$ параллельны, он является параллелограммом.

2.Длины сторон:
Вычислим длины сторон параллелограмма, используя формулу расстояния между точками:
$BM = \sqrt{(a-a)^2 + (a-0)^2 + (a/2-0)^2} = \sqrt{0^2 + a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
$D_1N = \sqrt{(0-0)^2 + (a-0)^2 + (a-a/2)^2} = \sqrt{0^2 + a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
$MD_1 = \sqrt{(a-0)^2 + (a-a)^2 + (a/2-a)^2} = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a/2)^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
$NB = \sqrt{(a-0)^2 + (0-0)^2 + (0-a/2)^2} = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a/2)^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Все стороны параллелограмма равны между собой. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

3.Проверка на квадрат:
Для того чтобы ромб был квадратом, его диагонали должны быть равны, или его смежные стороны должны быть перпендикулярны.
Длины диагоналей ромба $BMD_1N$:
Диагональ $MN = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a/2-a/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Диагональ $BD_1$ является пространственной диагональю куба, соединяющей противоположные вершины $B(a,0,0)$ и $D_1(0,a,a)$.
$BD_1 = \sqrt{(a-0)^2 + (0-a)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
Так как $MN \neq BD_1$ ($a\sqrt{2} \neq a\sqrt{3}$), данный ромб не является квадратом.

Ответ:

Вид сечения: ромб.

18.2. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1D_1$. Определите его вид.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскость проходит через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1D_1$.

Найти:

1. Построить сечение куба указанной плоскостью.

2. Определить вид полученного сечения.

Решение:

Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1D_1$.

Пусть $K$ — середина ребра $AB$, $L$ — середина ребра $BC$, $M$ — середина ребра $A_1D_1$. Эти три точки определяют секущую плоскость.

1. Точки $K$ и $L$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединяем их отрезком $KL$. Этот отрезок является частью искомого сечения.

2. Плоскость грани $A_1B_1C_1D_1$ параллельна плоскости грани $ABCD$. Если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Таким образом, линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$ должна быть параллельна отрезку $KL$. Так как $KL$ соединяет середины смежных ребер $AB$ и $BC$, то прямая, параллельная $KL$ и проходящая через точку $M$ (середину $A_1D_1$), соединит $M$ с серединой ребра $C_1D_1$. Обозначим эту середину как $N$. Отрезок $MN$ является частью искомого сечения.

3. Рассмотрим плоскость боковой грани $ADD_1A_1$. Точка $M$ лежит на ребре $A_1D_1$. Для нахождения следующей точки сечения в этой грани, продлим отрезок $KL$ до пересечения с продолжением ребра $AD$. Пусть точка их пересечения будет $Q$. Точка $Q$ лежит в плоскости сечения и в плоскости грани $ADD_1A_1$. Соединим точки $Q$ и $M$. Прямая $QM$ пересечет ребро $AA_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку как $P_A$. Расчеты показывают, что $P_A$ является серединой ребра $AA_1$. Отрезок $MP_A$ является частью искомого сечения.

4. Соединим точки $P_A$ и $K$. Отрезок $P_AK$ лежит в плоскости грани $ABA_1B_1$ и является частью искомого сечения.

5. Рассмотрим плоскость боковой грани $CDD_1C_1$. Точка $N$ лежит на ребре $C_1D_1$. Продлим отрезок $KL$ до пересечения с продолжением ребра $DC$. Пусть точка их пересечения будет $P$. Точка $P$ лежит в плоскости сечения и в плоскости грани $CDD_1C_1$. Соединим точки $P$ и $N$. Прямая $PN$ пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку как $P_C$. Расчеты показывают, что $P_C$ является серединой ребра $CC_1$. Отрезок $P_CN$ является частью искомого сечения.

6. Соединим точки $L$ и $P_C$. Отрезок $LP_C$ лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$ и является частью искомого сечения.

Таким образом, сечение куба представляет собой многоугольник $P_AKLP_CNM$, вершины которого являются серединами ребер $AA_1$, $AB$, $BC$, $CC_1$, $C_1D_1$ и $A_1D_1$ соответственно.

Ответ: Сечение построено как шестиугольник $P_AKLP_CNM$, где $P_A, K, L, P_C, N, M$ — середины ребер $AA_1, AB, BC, CC_1, C_1D_1, A_1D_1$ соответственно.

Определите его вид.

Для определения вида полученного многоугольника, вычислим длины его сторон и углы. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Каждая сторона многоугольника соединяет середины двух смежных ребер куба (либо в одной грани, либо в смежных гранях). Например, $P_A$ — середина $AA_1$, $K$ — середина $AB$. $P_AK$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длиной $a/2$.

Длина каждой стороны сечения: $|P_AK| = \sqrt{(AK)^2 + (AP_A)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Аналогично, длины всех остальных сторон также равны $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, все шесть сторон шестиугольника $P_AKLP_CNM$ равны.

Далее, проверим параллельность противоположных сторон:

1. Отрезки $KL$ и $MN$ параллельны, так как они являются линиями пересечения секущей плоскости с параллельными гранями $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ соответственно. Также их равенство было установлено.

2. Рассмотрим отрезки $P_AK$ и $P_CN$. $\vec{P_AK} = K - P_A$. Если $A$ — начало координат $(0,0,0)$, то $P_A(0,0,\frac{a}{2})$, $K(\frac{a}{2},0,0)$. $\vec{P_AK} = (\frac{a}{2}, 0, -\frac{a}{2})$. $P_C(a,a,\frac{a}{2})$, $N(\frac{a}{2},a,a)$. $\vec{P_CN} = N - P_C = (\frac{a}{2}-a, a-a, a-\frac{a}{2}) = (-\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})$. Так как $\vec{P_AK} = - \vec{P_CN}$, то $P_AK \parallel P_CN$.

3. Рассмотрим отрезки $LP_C$ и $MP_A$. $L(a,\frac{a}{2},0)$, $P_C(a,a,\frac{a}{2})$. $\vec{LP_C} = P_C - L = (0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$. $M(0,\frac{a}{2},a)$, $P_A(0,0,\frac{a}{2})$. $\vec{MP_A} = P_A - M = (0, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})$. Так как $\vec{LP_C} = - \vec{MP_A}$, то $LP_C \parallel MP_A$.

Поскольку все стороны равны и противоположные стороны параллельны, это указывает на то, что многоугольник является центрально-симметричным и, возможно, правильным.

Вычислим величину одного из углов, например, $\angle P_AKL$. В вершине $K$, находящейся на ребре $AB$, сходятся отрезки $P_AK$ и $KL$. Векторы $\vec{KP_A} = (-\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})$ и $\vec{KL} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$. Скалярное произведение $\vec{KP_A} \cdot \vec{KL} = (-\frac{a}{2})(\frac{a}{2}) + (0)(\frac{a}{2}) + (\frac{a}{2})(0) = -\frac{a^2}{4}$. Длины векторов: $|\vec{KP_A}| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, $|\vec{KL}| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. $\cos(\angle P_AKL) = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\frac{a^2}{2}} = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $\angle P_AKL = 120^\circ$.

Благодаря симметрии куба, все углы этого шестиугольника будут равны $120^\circ$.

Шестиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, является правильным шестиугольником.

Ответ: Полученное сечение представляет собой правильный шестиугольник.

18.3. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A, C$ и середину ребра $A_1D_1$. Определите его вид.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $C$ и середину ребра $A_1D_1$.

Найти: Построить сечение и определить его вид.

Решение:

Построение сечения:

Обозначим середину ребра $A_1D_1$ как $M$. Для построения сечения куба заданной плоскостью, проходящей через точки $A$, $C$ и $M$, выполним следующие шаги:

Соединим точки $A$ и $C$. Эти две точки лежат в одной грани куба $ABCD$ (нижняя грань), поэтому отрезок $AC$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и, следовательно, частью искомого сечения.

Соединим точки $A$ и $M$. Эти точки лежат в одной грани $AA_1D_1D$ (боковая грань). Отрезок $AM$ также является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и частью искомого сечения.

Далее, рассмотрим верхнюю грань куба $A_1B_1C_1D_1$. Грань $ABCD$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1$. По свойству параллельных плоскостей, если плоскость (в данном случае секущая) пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Так как отрезок $AC$ лежит в плоскости $ABCD$ и является частью сечения, то линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$ должна быть параллельна $AC$.

Эта линия должна проходить через точку $M$, которая является серединой ребра $A_1D_1$. Поскольку диагональ $AC$ в нижней грани параллельна диагонали $A_1C_1$ в верхней грани, то искомая линия, проходящая через $M$, будет параллельна $A_1C_1$. В треугольнике $A_1D_1C_1$, если провести прямую через середину $M$ ребра $A_1D_1$ параллельно $A_1C_1$, то по теореме о средней линии треугольника (или теореме Фалеса) эта прямая пересечет ребро $D_1C_1$ в его середине. Обозначим эту точку как $N$. Отрезок $MN$ является частью искомого сечения.

Наконец, у нас есть точки $N$ и $C$. Эти точки лежат в одной грани $CDD_1C_1$ (боковая грань). Соединим их отрезком $NC$. Этот отрезок является завершающей частью искомого сечения.

Таким образом, сечением является четырехугольник $AMNC$.

Определение вида сечения:

Для определения вида полученного четырехугольника $AMNC$, проанализируем его стороны:

1.Параллельность сторон: Из построения мы знаем, что $MN \parallel AC$. Это следует из того, что $MN$ была построена параллельно $A_1C_1$, а $A_1C_1 \parallel AC$ (как диагонали параллельных граней куба). Поскольку в четырехугольнике $AMNC$ две стороны $MN$ и $AC$ параллельны, то этот четырехугольник является трапецией.

2.Длины непараллельных сторон: Пусть длина ребра куба равна $a$. Для вычисления длин сторон используем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин: $A(0,0,0)$, $C(a,a,0)$. Ребро $A_1D_1$ имеет концы $A_1(0,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$. Середина $M$ ребра $A_1D_1$ имеет координаты $M\left(0, \frac{a}{2}, a\right)$. Ребро $D_1C_1$ имеет концы $D_1(0,a,a)$ и $C_1(a,a,a)$. Середина $N$ ребра $D_1C_1$ имеет координаты $N\left(\frac{a}{2}, a, a\right)$.

Длина стороны $AM$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

$AM = \sqrt{(0-0)^2 + \left(\frac{a}{2}-0\right)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Длина стороны $NC$ вычисляется аналогично:

$NC = \sqrt{\left(\frac{a}{2}-a\right)^2 + (a-a)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + 0 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку длины непараллельных сторон $AM$ и $NC$ равны ($AM = NC = \frac{a\sqrt{5}}{2}$), трапеция $AMNC$ является равнобедренной.

Для полноты, также укажем длины параллельных оснований:

Длина $AC = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Длина $MN = \sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^2 + \left(a-\frac{a}{2}\right)^2 + (a-a)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Длины оснований $AC = a\sqrt{2}$ и $MN = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечением является равнобедренная трапеция $AMNC$, где $M$ - середина ребра $A_1D_1$, а $N$ - середина ребра $D_1C_1$.

18.4. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершину $C_1$ и середины ребер $AB$ и $AD$. Определите его вид.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскость сечения проходит через вершину $C_1$ и середины ребер $AB$ и $AD$.

Найти: Построить сечение и определить его вид.

Решение:

Построение сечения:

1. Обозначим середины ребер $AB$ и $AD$ как $M$ и $N$ соответственно.

2. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ является частью искомого сечения и лежит в плоскости основания куба $ABCD$.

3. Продлим отрезок $MN$ до пересечения с продолжениями ребер основания. Пусть прямая $MN$ пересекает прямую $CB$ в точке $K$ и прямую $CD$ в точке $L$.

4. Точки $C_1$ и $K$ лежат в одной плоскости боковой грани $BCC_1B_1$ (или ее продолжении). Проведем прямую $C_1K$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в некоторой точке $P$. Точка $P$ является вершиной сечения. (Посредством координатного метода или подобия треугольников можно показать, что $BP = a/3$, где $a$ – длина ребра куба).

5. Точки $C_1$ и $L$ лежат в одной плоскости боковой грани $CDD_1C_1$ (или ее продолжении). Проведем прямую $C_1L$. Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в некоторой точке $Q$. Точка $Q$ является вершиной сечения. (Аналогично $DQ = a/3$).

6. Соединим все найденные вершины сечения в порядке обхода: $M$, $N$, $Q$, $C_1$, $P$. Отрезки $MN$, $NQ$, $QC_1$, $C_1P$, $PM$ образуют контур искомого сечения.

Ответ: Сечение построено и представляет собой пятиугольник $MNQC_1P$.

Определение вида:

Полученное сечение имеет пять вершин ($M, N, Q, C_1, P$). Следовательно, это пятиугольник.

Для более точного определения вида рассмотрим длины сторон, приняв длину ребра куба за $a$:

• Длина $MN$: поскольку $M$ и $N$ – середины $AB$ и $AD$ соответственно, $AM = AN = a/2$. Треугольник $AMN$ – прямоугольный равнобедренный, поэтому $MN = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{a^2/2} = \$a/\sqrt{2}\$.

• Длина $PM$: точка $P$ находится на ребре $BB_1$ на расстоянии $BP = a/3$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $PM$, отрезком $MB$ (длина $a/2$) и перпендикуляром из $P$ на плоскость основания (длина $BP = a/3$). Это неверно. $M(a/2,0,0)$ и $P(a,0,a/3)$ (если $A=(0,0,0)$). Тогда $PM = \sqrt{(a - a/2)^2 + (0 - 0)^2 + (a/3 - 0)^2} = \sqrt{(a/2)^2 + (a/3)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/9} = \sqrt{9a^2/36 + 4a^2/36} = \sqrt{13a^2/36} = \$a\sqrt{13}/6\$.

• Длина $NQ$: аналогично $N(0,a/2,0)$ и $Q(0,a,a/3)$. $NQ = \sqrt{(0-0)^2 + (a - a/2)^2 + (a/3 - 0)^2} = \sqrt{(a/2)^2 + (a/3)^2} = \$a\sqrt{13}/6\$. Таким образом, $PM = NQ$.

• Длина $QC_1$: $Q(0,a,a/3)$ и $C_1(a,a,a)$. $QC_1 = \sqrt{(a - 0)^2 + (a - a)^2 + (a - a/3)^2} = \sqrt{a^2 + 0^2 + (2a/3)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2/9} = \sqrt{13a^2/9} = \$a\sqrt{13}/3\$.

• Длина $PC_1$: $P(a,0,a/3)$ и $C_1(a,a,a)$. $PC_1 = \sqrt{(a - a)^2 + (a - 0)^2 + (a - a/3)^2} = \sqrt{0^2 + a^2 + (2a/3)^2} = \$a\sqrt{13}/3\$. Таким образом, $QC_1 = PC_1$.

Поскольку длины сторон различны ($a/\sqrt{2}$, $a\sqrt{13}/6$, $a\sqrt{13}/3$), пятиугольник является неправильным.

Однако, данный пятиугольник обладает осевой симметрией. Если расположить куб так, что вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра лежат по осям координат, то плоскость симметрии куба $x=y$ является плоскостью симметрии и для данного сечения, так как точки $M(a/2,0,0)$ и $N(0,a/2,0)$ симметричны относительно этой плоскости; точки $P(a,0,a/3)$ и $Q(0,a,a/3)$ также симметричны; а точка $C_1(a,a,a)$ лежит в этой плоскости. Таким образом, сечение является симметричным неправильным пятиугольником.

Ответ: Пятиугольник (симметричный неправильный пятиугольник).

18.5. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три точки $E, F, G$, расположенные так, как показано на рисунке 18.12.

Рис. 18.12

Задача требует построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки $E$, $F$, $G$. Точка $E$ расположена на ребре $AB$, точка $F$ — на ребре $B_1C_1$, а точка $G$ — на ребре $D_1C_1$.

Построение сечения куба

Построение сечения многогранника плоскостью, заданной тремя точками, основывается на следующих принципах:

1. Если две точки сечения лежат на одной грани многогранника, то отрезок, соединяющий эти точки, является частью искомого сечения.
2. Если плоскость сечения пересекает две параллельные грани, то линии пересечения (следы) плоскости сечения с этими гранями параллельны.
3. Если прямая, содержащая ребро многогранника, пересекается с прямой, лежащей в плоскости сечения, то точка их пересечения является точкой плоскости сечения и лежит в той же грани, что и ребро.

Применяя эти принципы, построим сечение:

Шаг 1. Находим отрезок сечения на верхней грани.
Точки $F$ и $G$ лежат на одной грани куба — верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Соединяем эти точки отрезком $FG$. Отрезок $FG$ является одной из сторон искомого сечения.

Шаг 2. Находим вспомогательную точку для построения следа на передней грани.
Проведем прямую $l_{FG}$, содержащую отрезок $FG$, в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. По рисунку видно, что точки $F$ и $G$ расположены ближе к ребру $C_1B_1$ и $C_1D_1$ соответственно. Поэтому прямая $l_{FG}$ при продлении пересечет продолжение ребра $A_1B_1$ (в направлении от $B_1$ за $A_1B_1$) в точке $S$.
(Если бы $F$ была ближе к $B_1$, а $G$ к $D_1$, то $S$ мог бы быть между $A_1$ и $B_1$. По рисунку $F$ ближе к $C_1$, $G$ ближе к $C_1$, так что $l_{FG}$ пересекает продолжение $A_1B_1$ за $B_1$ или $A_1D_1$ за $D_1$. Допустим, она пересекает продолжение $A_1B_1$ в точке $S$.)

Шаг 3. Находим след сечения на передней грани.
Точка $E$ лежит на ребре $AB$, которое принадлежит передней грани $ABB_1A_1$. В этой же плоскости лежит вспомогательная точка $S$ (поскольку она лежит на прямой, содержащей ребро $A_1B_1$). Соединяем точки $E$ и $S$. Прямая $ES$ является следом плоскости сечения на передней грани $ABB_1A_1$.
Прямая $ES$ пересечет ребро $BB_1$ в точке $M$. Точка $M$ является вершиной сечения.
Отрезок $EM$ является частью сечения.

Шаг 4. Находим отрезок сечения на правой грани.
Точка $F$ лежит на ребре $B_1C_1$, а точка $M$ — на ребре $BB_1$. Обе эти точки лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$. Соединяем $F$ и $M$. Отрезок $FM$ является частью сечения.

Шаг 5. Находим след сечения на нижней грани.
Нижняя грань $ABCD$ параллельна верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Согласно свойству параллельных граней, линии их пересечения с плоскостью сечения должны быть параллельны. След сечения на верхней грани — прямая $FG$. Следовательно, след сечения на нижней грани должен быть параллелен $FG$ и проходить через точку $E$.
Проводим через точку $E$ в плоскости $ABCD$ прямую, параллельную $FG$. Эта прямая пересекает ребро $CD$ в точке $Q$. Точка $Q$ является вершиной сечения.
Отрезок $EQ$ является частью сечения.

Шаг 6. Находим отрезок сечения на задней грани.
Точка $G$ лежит на ребре $D_1C_1$, а точка $Q$ — на ребре $CD$. Обе эти точки лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Соединяем $G$ и $Q$. Отрезок $GQ$ является частью сечения.

Шаг 7. Завершаем построение сечения.
Мы нашли все вершины сечения на рёбрах куба: $E$ (на $AB$), $M$ (на $BB_1$), $F$ (на $B_1C_1$), $G$ (на $D_1C_1$), $Q$ (на $CD$).
Соединяя эти точки в порядке их обхода по граням куба, получаем многоугольник $EMFGQ$.
Отрезки сечения: $EM$, $MF$, $FG$, $GQ$, $QE$.

Проверяем, что многоугольник замкнут и все его стороны лежат на гранях куба:

• $EM$ лежит на передней грани $ABB_1A_1$.
• $MF$ лежит на правой грани $BCC_1B_1$.
• $FG$ лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
• $GQ$ лежит на задней грани $CDD_1C_1$.
• $QE$ лежит на нижней грани $ABCD$.

Все отрезки лежат на гранях куба, и многоугольник замкнут. Таким образом, искомое сечение — пятиугольник $EMFGQ$.

Ответ: Сечение куба — пятиугольник $EMFGQ$, построенный по описанным выше шагам.