Вопрос?, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Какие многоугольники могут быть сечениями куба? Приведите примеры.

Сечениями куба могут быть многоугольники с количеством сторон от 3 до 6 включительно. Максимальное количество сторон равно 6, так как куб имеет 6 граней, и плоскость может пересечь не более шести граней. Каждая грань, пересекаемая плоскостью, образует одну сторону сечения.

Какие многоугольники могут быть сечениями куба?

Сечениями куба могут быть: треугольники (3 стороны), четырехугольники (4 стороны), пятиугольники (5 сторон) и шестиугольники (6 сторон).

Ответ:

Приведите примеры.

Треугольник: Сечение куба плоскостью, проходящей через три вершины, не лежащие на одной грани, например, плоскость, проходящая через вершины $A_1$, $B$, $D$ (где $A_1$ - верхняя вершина над $A$). Такое сечение отсекает угол куба. Например, если взять куб со стороной $a$, и плоскость пройдет через вершины $B_1$, $C$ и $D_1$, то каждая сторона полученного треугольника будет равна диагонали грани куба, т.е. $a\sqrt{2}$. Следовательно, это будет равносторонний треугольник.

Четырехугольник: Сечениями куба могут быть различные виды четырехугольников. Квадрат: Плоскость, параллельная одной из граней куба (например, плоскость, параллельная грани $ABCD$). Прямоугольник: Плоскость, проходящая через две противоположные грани и параллельная двум другим граням (например, плоскость, проходящая через середины четырех параллельных ребер, таких как $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$). Параллелограмм: Плоскость, пересекающая четыре параллельных ребра (например, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$), при этом она не перпендикулярна этим ребрам. Например, сечение, проходящее через вершину $A$, точку на ребре $BB_1$ на высоте $h$ (где $0 < h < \text{сторона куба}$ и $h \ne \text{сторона куба}/2$), вершину $C_1$ (над $C$), и точку на ребре $D_1D$ на высоте $h$. Ромб: Частный случай параллелограмма, когда все стороны равны. Может быть получен, например, плоскостью, проходящей через вершины $A$, середину ребра $B_1B$, вершину $C_1$, и середину ребра $D_1D$. Трапеция: Плоскость, пересекающая четыре ребра таким образом, что только две стороны сечения параллельны. Например, плоскость, проходящая через одно ребро куба (например, $AB$) и две точки на двух разных смежных ребрах противоположной грани (например, на $D_1D$ и $C_1C$), расположенные на разной высоте.

Пятиугольник: Сечение куба, которое пересекает пять его граней. Такое сечение можно получить, если плоскость "срезает" один угол куба, но не просто отсекает три грани, а задевает еще две соседние грани. Например, плоскость, проходящая через середины ребер $AA_1, BB_1, CC_1, D_1C_1, D_1A_1$.

Шестиугольник: Сечение куба, которое пересекает все шесть его граней. Это возможно только в том случае, если плоскость не параллельна ни одной паре граней. Максимальное количество вершин сечения куба равно шести. Наиболее известен пример правильного шестиугольника, который образуется при сечении куба плоскостью, проходящей через его центр и перпендикулярной одной из главных диагоналей куба. Например, если куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то плоскость, проходящая через середины ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1, A_1A$, образует шестиугольник.

Ответ: