Номер 18.6, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.6. Постройте сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $B_1C_1$ (рис. 18.13). Определите вид сечения.

Рис. 18.13

Постройте сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $B_1C_1$.

Обозначим середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $B_1C_1$ соответственно как точки M, N и K.

1. Соединим точки M и N. Эти точки лежат в одной грани $ABB_1A_1$, поэтому отрезок MN является частью сечения.

2. Соединим точки N и K. Эти точки лежат в одной грани $BB_1C_1C$, поэтому отрезок NK является частью сечения.

3. Чтобы найти остальные точки сечения, воспользуемся свойством секущих плоскостей. Поскольку точки M и N являются серединами параллельных ребер $AA_1$ и $BB_1$ соответственно, отрезок MN параллелен ребрам основания $AB$ и $A_1B_1$.

4. Плоскость сечения (MNK) пересекает плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$ по прямой. Точка K лежит на этой прямой. Так как $MN \parallel A_1B_1$, и $MN$ лежит в секущей плоскости, то линия пересечения секущей плоскости с плоскостью $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна $A_1B_1$.

5. Проведем через точку K (середину $B_1C_1$) прямую, параллельную $A_1B_1$, в плоскости $A_1B_1C_1$. Эта прямая является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$, поскольку она проходит через середину стороны $B_1C_1$ и параллельна $A_1B_1$. Следовательно, она пересечет ребро $A_1C_1$ в его середине. Обозначим эту точку L.

6. Соединим точки K и L. Отрезок KL является частью сечения и лежит в верхнем основании $A_1B_1C_1$.

7. Соединим точки L и M. Эти точки лежат в одной грани $ACC_1A_1$, поэтому отрезок LM является частью сечения.

Таким образом, сечение призмы представляет собой четырехугольник MNKL.

Ответ: Построено сечение MNKL.

Определите вид сечения.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Плоскость сечения проходит через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $B_1C_1$.

Пусть длина стороны основания призмы равна $a$, а высота призмы $h$.

Найти:

Вид построенного сечения.

Решение:

Обозначим середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $B_1C_1$ соответственно как точки M, N и K. В ходе построения сечения мы установили, что оно является четырехугольником MNKL, где L - середина ребра $A_1C_1$.

Определим длины сторон этого четырехугольника:

1. Длина стороны $MN$:

Точки M и N являются серединами параллельных ребер $AA_1$ и $BB_1$ соответственно. Следовательно, отрезок MN параллелен отрезку $AB$ и равен ему по длине (как отрезок, соединяющий середины боковых сторон прямоугольника $ABB_1A_1$).

$MN = AB = a$

2. Длина стороны $KL$:

Точки K и L являются серединами ребер $B_1C_1$ и $A_1C_1$ соответственно в верхнем основании $A_1B_1C_1$. Следовательно, отрезок $KL$ является средней линией равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$.

$KL = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{a}{2}$

3. Длина стороны $NK$:

Отрезок NK соединяет середину ребра $BB_1$ (точку N) с серединой ребра $B_1C_1$ (точкой K). Рассмотрим прямоугольный треугольник $NB_1K$, образованный катетами $NB_1$ и $B_1K$. Катеты этого треугольника равны $NB_1 = \frac{1}{2} BB_1 = \frac{h}{2}$ и $B_1K = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора, длина $NK$ равна:

$NK = \sqrt{NB_1^2 + B_1K^2} = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{h^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{h^2+a^2}$

4. Длина стороны $LM$:

Отрезок LM соединяет середину ребра $A_1C_1$ (точку L) с серединой ребра $AA_1$ (точкой M). Рассмотрим прямоугольный треугольник $LA_1M$, образованный катетами $LA_1$ и $A_1M$. Катеты этого треугольника равны $LA_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{a}{2}$ и $A_1M = \frac{1}{2} AA_1 = \frac{h}{2}$.

По теореме Пифагора, длина $LM$ равна:

$LM = \sqrt{LA_1^2 + A_1M^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+h^2}$

Сравнивая длины сторон, получаем:

• $MN = a$
• $KL = \frac{a}{2}$
• $NK = LM = \frac{1}{2}\sqrt{h^2+a^2}$

Мы видим, что длины сторон $MN$ и $KL$ не равны ($a \ne \frac{a}{2}$).

Мы установили в ходе построения, что $MN \parallel A_1B_1$ и $KL \parallel A_1B_1$. Следовательно, $MN \parallel KL$.

Также мы видим, что непараллельные стороны $NK$ и $LM$ равны по длине.

Четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна, а другая пара сторон (непараллельные) равна по длине, называется равнобедренной трапецией.

Ответ: Сечение является равнобедренной трапецией.