Номер 18.11, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.11. Постройте сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через вершины A, B и середину K ребра SD (рис. 18.18).

Решение

Для построения сечения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью $\Pi$, проходящей через вершины $A$, $B$ и середину $K$ ребра $SD$, выполним следующие шаги. Сечение является многоугольником, вершинами которого являются точки пересечения плоскости $\Pi$ с рёбрами пирамиды, а сторонами - отрезки, лежащие в гранях пирамиды.

1. Сторона сечения $AB$: Точки $A$ и $B$ являются вершинами основания пирамиды $ABCDEF$. Поскольку они обе лежат в плоскости сечения $\Pi$, отрезок $AB$ является одной из сторон искомого сечения, лежащей в плоскости основания.

2. Нахождение точки $L$ на ребре $SE$ и стороны $KL$: Основание пирамиды $ABCDEF$ является правильным шестиугольником, поэтому сторона $AB$ параллельна стороне $ED$ ($AB \parallel ED$). Плоскость сечения $\Pi$ содержит прямую $AB$. Точка $K$ лежит в плоскости сечения $\Pi$ и одновременно в плоскости боковой грани $SDE$ (так как $K$ находится на ребре $SD$). Если плоскость $\Pi$ содержит прямую, параллельную другой прямой, лежащей в некоторой плоскости, то линия пересечения плоскости $\Pi$ с этой плоскостью будет параллельна упомянутой прямой. В данном случае, линия пересечения плоскости сечения $\Pi$ с плоскостью грани $SDE$ должна быть параллельна $ED$. Проведем через точку $K$ в плоскости грани $SDE$ прямую, параллельную $ED$. Эта прямая пересечет ребро $SE$ в точке $L$. Так как $K$ является серединой ребра $SD$, то из подобия треугольников $\triangle SKL$ и $\triangle SDE$ (поскольку $KL \parallel ED$) следует, что $L$ является серединой ребра $SE$. Соединим $K$ и $L$ отрезком $KL$. Отрезок $KL$ является стороной сечения, лежащей в грани $SDE$.

3. Нахождение точки $M$ на ребре $SC$ и сторон $BM$, $MK$: Для нахождения точки пересечения плоскости сечения с ребром $SC$, рассмотрим плоскость основания. Продолжим прямую $AB$ и прямую $CD$. Поскольку эти прямые не параллельны (как стороны правильного шестиугольника), они пересекутся в некоторой точке $P_1$. Точка $P_1$ лежит в плоскости основания. Так как $P_1$ лежит на прямой $AB$ (продолжение стороны сечения), она принадлежит плоскости сечения $\Pi$. Точка $P_1$ также лежит на прямой $CD$, которая находится в плоскости боковой грани $SCD$. Поскольку точка $K$ также принадлежит плоскости сечения $\Pi$ и плоскости грани $SCD$ (точка $K$ лежит на ребре $SD$), то прямая $P_1K$ является линией пересечения плоскости сечения $\Pi$ с плоскостью грани $SCD$. Прямая $P_1K$ пересечет ребро $SC$ в точке $M$. Соединим точку $B$ с точкой $M$ отрезком $BM$ (сторона сечения в грани $SBC$) и точку $M$ с точкой $K$ отрезком $MK$ (сторона сечения в грани $SCD$).

4. Нахождение точки $N$ на ребре $SF$ и сторон $LN$, $NA$: Аналогично предыдущему шагу, для нахождения точки пересечения плоскости сечения с ребром $SF$, продолжим прямую $AB$ и прямую $EF$. Эти прямые не параллельны и пересекутся в некоторой точке $P_2$. Точка $P_2$ лежит в плоскости основания. Так как $P_2$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости сечения $\Pi$. Точка $P_2$ также лежит на прямой $EF$, которая находится в плоскости боковой грани $SEF$. Поскольку точка $L$ (найденная в пункте 2) также принадлежит плоскости сечения $\Pi$ и плоскости грани $SEF$ (точка $L$ лежит на ребре $SE$), то прямая $P_2L$ является линией пересечения плоскости сечения $\Pi$ с плоскостью грани $SEF$. Прямая $P_2L$ пересечет ребро $SF$ в точке $N$. Соединим точку $L$ с точкой $N$ отрезком $LN$ (сторона сечения в грани $SEF$) и точку $N$ с точкой $A$ отрезком $NA$ (сторона сечения в грани $SFA$).

Таким образом, искомое сечение представляет собой шестиугольник $ABMKLN$.

Ответ: Сечение $ABMKLN$ построено в соответствии с описанными шагами.